Números complexos módulo de dois números complexos important

por **elisamaria** » Qui Jun 11, 2015 16:56

Considere z um número complexo cujas partes, real e imaginária, não se anulam simultaneamente. Então, os números complexos que satisfazem a equação z + 1/z = 1, possuem módulo igual a:

a) 1/2.
b) ?3/2.
c) ?3.
d) 1.

por **nakagumahissao** » Qui Jun 11, 2015 19:20

Resolução:

[1] $z + \frac{1}{z} = 1$

Tomemos z como sendo:

z = a + bi

e substituindo em [1], teremos:

$z + \frac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow z \cdot z + 1 = 1$

$\left(a + bi \right)\left(a + bi \right) + 1 = 1 \Leftrightarrow a^2 + abi + abi + b^2i^2 = a^2 + 2abi - b^2 = 1$

$a^2 + 2abi - b^2 \equiv 1 \Rightarrow (a^2 - b^2) + 2abi \equiv 1$

Desta última sabemos o valor Real e o imaginário necessário para calcular a e b. Dessa maneira, temos que:

a^2 - b^2 = 1

Desta última, sabemos que a ou b vale 0, mas não ambos, pois as partes, real e imaginária, não se anulam simultaneamente conforme o enunciado.

Façamos b = 0 e calculemos a:

$a^2 + b^2 = 1 \Leftrightarrow a^2 + 0^2 = 1 \Leftrightarrow a^2 + 0 = 1 \Leftrightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$

Portanto, a e b poderão ser:

$a = \pm 1$

b = 0

ou

$b = \pm 1$

a = 0

Quanto ao módulo sendo procurado, para quaisquer um dos resultados acima, deverá ser:

$\left|z \right| = \sqrt[]{\left(\pm 1 \right)^{2} + 0^2} = 1$

Portanto, a opção correta é a letra (D).

Espero ter auxiliado.