Análise Real : Números Reais (desigualdade de Cauchy-Schwar

por **JorgeVidal** » Dom Fev 22, 2015 18:00

Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que:
a) Se $a,b, c, d\geq0$ , então $\frac{1}{2}(\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b}+\sqrt[2]{c}+\sqrt[2]{d})\geq\sqrt[2]{a+b+c+d}$ ;
b) $cos\theta.sen\varphi+sin\theta.sin\varphi+cos\varphi\leq\sqrt[]{3}$ , para quaisquer $\theta,\varphi\in\Re$ ;
c) Se a,b>0

e

, então $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq\frac{25}{2}$

por **adauto martins** » Qua Fev 25, 2015 20:49

a)farei p/ dois num. e extender p/ os quatro...
${(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}})^{2}\geq 0\Rightarrow a-2\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}+b\succeq 0$ $\Rightarrow a+b\succeq 2\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}\Rightarrow a+2\sqrt[]{a}.\sqrt[]{b}+b\succeq 4\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}\Rightarrow {(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}})^{2}\succeq 4\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}$ $\Rightarrow 1/2(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b})\succeq \sqrt[]{a.b}\succeq \sqrt[]{a+b}$ ...
b) $cos\theta.sen\varphi+sen\theta.sen\varphi +cos\varphi\preceq \left|cos\theta.sen\varphi+sen\theta.sen\varphi +cos\varphi \right|$ $\preceq \left|sen\thet.cos\thetasen\varphi \right|+\left|sen\theta.sen\thetacos\varphi \right|+\left|cos\varphi \right|\preceq (\sqrt[]{3}/2).(\sqrt[]{3}/2)+(\sqrt[]{3}/2).(\sqrt[]{3}/2)+(\sqrt[]{3}/2)$ = $2/3+(\sqrt[]{3}/2)\prec (\sqrt[]{3}/2).(\sqrt[]{3}/2)=\sqrt[]{3}$
c)sugestao...desiqualdade de bernoulli... $({1+x})^{n}\succeq 1+nx$ ...