[Transformada de laplace] de funções

por **jeferson_justo135** » Seg Jan 12, 2015 22:48

Calcular a transformada de laplace das seguintes funções:
a) $\frac{\pi}{2}.{t}^{4}.{e}^{-6t}$ = $\frac{\pi}{2}.\frac{4!}{(s+6)^5}$ = $\frac{24\pi}{2(s+6)^5}$

b) $\sqrt[]{5}.{e}^{-8t}.cos(3\pi t)$ = $\sqrt[]{5}.\frac{3\pi}{{(s+8)}^{2}+{3\pi}^{2}}$ = $\frac{21,07}{({s+8}^{2})+88,83}$

c) $t.cos\(((7\frac{\pi}{2})t)5!$ = eliminando os parênteses fica = $t.cos1319,6.t = \frac{1}{{s}^{2}}.\frac{s}{{s}^{2}+{(1319,46)}^{2}}$ = $\frac{s}{({s}^{2}+1740998,21)}.{s}^{2}$

Pessoal por favor, estou com dúvidas, alguém pode me dizer se eu acertei os três exercícios? Obrigado.

por **Russman** » Ter Jan 13, 2015 02:22

A letra a) está correta.

Na letra b) você usou a Transformada da Função $\sin( \omega t)$ .

De fato,

$\mathfrak{L}\left \{ e^{at}\sin(\omega t) \right \} = \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}$

enquanto

$\mathfrak{L}\left \{ e^{at}\cos(\omega t) \right \} = \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}$ .

A letra c) está errada. Uma vez que você conhece a Transformada da função $\cos(\omega t)$ , utilize do fato de que

$\mathfrak{L}\left \{ tf(t) \right \} =- \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \mathfrak{L}\left \{ f(t) \right \}$ .

por **jeferson_justo135** » Ter Jan 13, 2015 21:04

Muito obrigado pelo retorno! Refiz os itens b e c porém surgiram dúvidas:

b) $\sqrt[]{5}.{e}^{-8t}.cos(3\pi.t)=\frac{s+8}{({s+8}^{2})+3{\pi}^{2}}=\frac{s+8}{{s}^{2}+16s+152,83}$ = está correto?

c) $t.(cos(7\frac{\pi}{2})t)5!=t(\frac{s}{{s}^{2}+120,90)})120=$ = não consegui entender o que você disse para aplicar, você pode me mostrar por favor? Estou aprendendo agora essa matéria.
Obrigado.

por **Russman** » Qua Jan 14, 2015 01:52

Agora a letra b) está correta. Você não precisa expandir os termos e muito menos substituir um valor aproximado de $\pi$ . É perfeitamente correto que

$\mathfrak{L}\left \{ \sqrt{5}e^{-8t}\cos(3 \pi t) \right \} = \frac{\sqrt{5}(s+8)}{(s+8)^2+9 \pi^2}$

Para calcular a transformada da função da letra c) você pode usar a propriedade

$\mathfrak{L}\left \{ tf(t) \right \} =- \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \mathfrak{L}\left \{ f(t) \right \}$ .

Esta diz que se você tem uma função f(t)

, sabe a sua Transformada e deseja calcular a transformada desta função multiplicada por

então basta derivar com respeito a

a Transfomada de f(t)

e trocar o sinal.

Por exemplo, gostaríamos de calcular a Transformada de f(t) = t^3

. De fato, t^3 = t . t^2

e $\mathfrak{L}\left \{ t^2 \right \} = \frac{2}{s^3}$ .

Assim, segundo a propriedade,

$\mathfrak{L}\left \{ t^3 \right \} = \mathfrak{L}\left \{ t . (t^2) \right \} = - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \mathfrak{L}\left \{ t^2 \right \} \Rightarrow \mathfrak{L}\left \{ t^3 \right \} = - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \frac{2}{s^3} = - \frac{-6}{s^4} = \frac{6}{s^4}$

Entende?

Não é difícil de mostrar esse propriedade.

A Transformada $\mathfrak{L}\left \{ t\cos(\omega t) \right \}$ será

$\mathfrak{L}\left \{ t\cos(\omega t) \right \} = \frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$ .

Tente resolver e concluir a afirma a cima.

por **jeferson_justo135** » Qui Jan 15, 2015 09:22

Muito obrigado novamente! Eu vou refazer e ainda hoje posto o resultado para verificação!

por **jeferson_justo135** » Seg Jan 19, 2015 16:55

Olá amigo muito obrigado!

Eu refiz os cálculos e consegui chegar nesse resultado, porém surgiu uma dúvida: a parte de cima da equação final ${s}^{2}-{w}^{2}$ foi resultado de uma derivada assim como a parte de baixo? Pois na verdade o que aparenta é que foi derivado apenas a parte de baixo e a de cima foi alterado apenas o sinal.

Obrigado.

por **Russman** » Ter Jan 20, 2015 05:27

Você deriva com relação a s a transformada do cosseno e troca o sinal.

O resultado é como lhe mostrei.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-+%28d%2Fds%29+s%2F%28s%5E2+%2B+w%5E2%29

por **jeferson_justo135** » Dom Fev 08, 2015 16:53

Olá amigo, refiz o item c com suas dicas, cheguei a esse resultado:

Transformada de $coswt = \frac{s}{{s}^{2}+{w}^{2}} = \frac{s}{{s}^{2}+(7\frac{\pi}{2}^2)} = \frac{s}{{s}^{2}+49\frac{\pi}{2}^2}$
Transformada de $tcos(wt) = \frac{d}{ds}(-\frac{s}{{s}^{2}+{w}^2{}}) = \frac{{s}^{2}-{w}^{2}}{({s}^{2}+{w}^{2})^2} = \frac{d}{ds}(-\frac{s}{{s}^{2}+49{\frac{\pi}{2}}^{2}})=\frac{{s}^{2}-49{\frac{\pi}{2}}^{2}}{({s}^{2}+49\p{\frac{\pi}{2}}^{2})^2}$

Logo a trasnformada de Laplace de
$tcos ((7.\frac{\pi}{2})t)5!=\frac{{s}^{2}-49\frac{\pi}{2}^2}{({s}^{2}+49\frac{\pi}{2}^2)^2}}.120 = \frac{120({s}^{2}-49\frac{\pi}{2}^2)}{({s}^{2}+49\frac{\pi}{2}^2)^2}$

Por favor, agora está certo?

No item a, posso simplificar o resultado de $\frac{24\pi}{2(s+6)^5}$ por $\frac{12\pi}{(s+6)^5}$ ?

Obrigado.