[Integral] simples com substituição por U

por **neoreload** » Sáb Nov 15, 2014 10:40

Pessoal estou com uma duvida bem besta mesmo. Eu estava aqui resolvendo uma lista de integrais, e cheguei nessa: $\int \frac{2+lnx}{x}dx$
De inicio achei bem simples, ai usei o método da substituição simples por U e fui fazendo assim:
U=2+lnx

$du=\frac{1}{x}dx$
$dx=\frac{du}{x}$
Até ai de boas, ai fiz a substituição: $\int \frac{U}{x}\frac{dU}{x}$ , cortei os dois X, e ficou $\int UdU$ . Ai que ta minha duvida, o que acontece com esse dU? eu coloco o valor de dU que eu encontrei antes? pq se eu fizer isso, fica diferente da resposta que é $\frac{1}{2}(2+lnx)^{2}+C$

por **nakagumahissao** » Seg Nov 17, 2014 10:26

neoreload,

Seria assim:

$\int_{}^{}\frac{2 + lnx}{x} dx$

$u = 2 + lnx \Leftrightarrow u - 2 = lnx \Leftrightarrow {e}^{u-2} = x$

Derivando, tem-se que:

$du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow du = \frac{1}{{e}^{u-2}} dx \Leftrightarrow dx = {e}^{u-2}du$

Substituindo-se na integral ficamos com:

$\int_{}^{}\frac{2 + lnx}{x} dx = \int_{}^{}\frac{u}{{e}^{u-2}} {e}^{u-2}du = \int_{}^{} u du = \frac{{u}^{2}}{2} + C =$

$= \frac{(2 + ln x)^2}{2} + C = \frac{1}{2}(2 + ln x)^2 + C$

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