O lenhador

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Um lenhador remava regularmente num tranqüilo lago; súbito um peixe irrompeu à superfície bem à sua frente. Ele contou doze remadas até que sua canoa cruzasse pela primeira vez o círculo de ondulações que o peixe formara, e depois mais doze até sair das ondulações do outro lado do círculo. Algum tempo depois, ele se deu o trabalho de calcular a que distância dele (a quantas remadas) o peixe estivera no momento em que pulou, mas isso lhe foi muito difícil. Você conseguiria resolver o problema?

[fbiochagas]

Fábio Sousa!
Você poderia mandar a resposta deste desáfio ao meu e-mail? fbiochagas@yahoo.com.br
Aguardo a tua resposta.
Abraço
Fábio Chagas

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Olá, Fábio Chagas!

Considero que a dificuldade deste exercício está em dois aspectos: a abstração para representá-lo geometricamente e a escolha de um cálculo que leve à resolução.

Outros comentários sobre a interpretação do enunciado:
A unidade de "distância" adotada é a "remada".
E a informação de que o lenhador "remava regularmente" significa então que a velocidade é constante. Neste caso, vale ressaltar que a velocidade é a variação das remadas no tempo.
E este trecho: "um peixe irrompeu à superfície bem à sua frente", em outras palavras, significa que o ponto do peixe está alinhado com o trajeto do lenhador.
E este outro: "tranqüilo lago", transmite a idéia de que a propagação das ondulações também é constante.


Pois bem, após estas considerações, o primeiro passo então é fazer uma representação geométrica, por exemplo, eu fiz esta:

desafio_lenhador.jpg (21.23 KiB) Exibido 3102 vezes

O lenhador vai no sentido AC.
Sendo que o ponto A representa a posição do lenhador no exato momento inicial de formação das ondulações.
Conforme o enunciado, o ponto O é a posição de encontro com o primeiro círculo c1 formado.
E o ponto C é a posição de saída do círculo correspondente c2.
O raio do círculo c1 é r.

A medida da distância BC assinalada como 12-2r é proveniente da diferença OC-OB (OC menos o diâmetro de c1).

Citei inicialmente a escolha do cálculo como dificuldade pois, unindo alguns pontos das intersecções das circunferências com o eixo x, podemos criar vários triângulos, alguns triângulos retângulos inclusive. Então, é natural buscarmos uma resolução geométrica, por exemplo, com semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras etc.

Mas, é fato que o enunciado estabelece uma relação entre as remadas e a propagação das ondas.
Sendo assim, buscando simplificar, relacionei as remadas com o raio de c1, através de uma regra de três.

A idéia:

Em palavras, esta regra de três representa o seguinte:
O lenhador percorre AO, proporcionalmente à propagação PB. Asim como percorre OC, proporcionalmente à propagação BC.

A conta:












E como procuramos a distância AP, temos:




remadas


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