Progressão Aritmética

por **tonypenizollo** » Sex Jul 18, 2014 15:23

Se ( 3 - x , x , raiz quadrada de 9 - x ) é uma progressão aritmética, seu 6° termo é ?

Estou com dúvida na parte da álgebra.

por **Russman** » Sex Jul 18, 2014 15:47

A progressão é $\left \{ 3-x,x,\sqrt{9-x} \right \}$ ?

por **tonypenizollo** » Sex Jul 18, 2014 16:01

Simm !

por **Russman** » Sex Jul 18, 2014 17:01

Em uma P.A. de 3 termos $\left \{ a_1,a_2,a_3 \right \}$ é verdade que, se

for sua razão,

a_2 = a_1 + r

Assim, como r=r

, temos

de onde

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Ou seja, o termo central é a média aritmética simples dos termos adjacentes!! Podemos usar isto. Aplicando ao problema, vem que

$x = \frac{3-x+\sqrt{9-x}}{2}$

Temos uma equação pra

. Tente resolver. Eu calculei $x = \frac{17}{9}$ .

por **tonypenizollo** » Sex Jul 18, 2014 17:08

Isso eu já sei, mas eu queria ver a resolução da parte que você calculou. Estou com dificuldade na álgebra.

por **Russman** » Sex Jul 18, 2014 17:26

Parece difícil, mas não é. Da direita, basta passar o 2 multiplicando, o

somando e o 3 subtraindo. Ou seja,

$x=\frac{3-x+\sqrt{9-x}}{2} \Rightarrow 3x-3=\sqrt{9-x}$

Agora, elevando ambos membros ao quadrado você se livra da raiz quadrada.

$\left (3x-3 \right )^2=\left (\sqrt{9-x} \right )^2\Rightarrow 9x^2-18x+9=9-x \Rightarrow 9x^2 - 17x=0$

A equação obtida é de 2° grau e voc~e pode resolver pela fórmula aquela. Ou, basta notar que é possível fatorar um x.

$9x^2 - 17x=0 \Rightarrow x(9x-17)=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ x=\frac{17}{9} \end{matrix}\right.$

Se x=0

, a P.A. é $\left \{ 3,0,-3 \right \}$ . Repare que escolhemos a raíz negativa de $\sqrt{9-x}$ já que para ir de 3 a 0 é necessário subtrair 3 de 3. Assim, para calcular o 3° termo precisamos também subtrair 3 de 0 que dá -3.

Se $x= \frac{17}{9}$ a P.A. é $\left \{ \frac{10}{9},\frac{17}{9},\frac{8}{3} \right \}$ . Aqui, a razão é positiva.