Exercício de LOG

por **matheus_frs1** » Seg Mai 12, 2014 21:43

Não sei se é exatamente log que tem que usar, mas parti desse princípio...

${\left({x}^{10} \right)}^{x}=10$

Tentei usar a propriedade de mudança de base e cheguei em $\frac{1}{logx}= 10x$ mas não consegui sair daqui. Alguém poderia me ajudar?

por **Russman** » Seg Mai 12, 2014 23:37

O seu princípio não está correto.

O certo é $10^{\log_{10}x}=x$ .

Note que as funções $f(x) = \log_{10}x$ e g(x) = 10^x

são uma a inversa da outra. Isto é,

g(f(x)) = x

por **matheus_frs1** » Ter Mai 13, 2014 00:20

Mas Russman, a propriedade do log não é assim:

${a}^{x}=b \Leftrightarrow {log}_{a}b=x$

Então, eu fiz isso, veja:

${\left({x}^{10} \right)}^{x} = 10\Leftrightarrow {log}_{x} 10 = 10x$

Depois usei a mudança de base para chegar em $\frac{{log}_{10}10}{{log}_{10}x} = 10x$ , e como log de 10 é 1 eu cheguei naquilo q te mandei.

Estou totalmente errado?

por **Russman** » Ter Mai 13, 2014 23:03

OK, sua definição de logaritmo está correta.

Agora, uma pergunta: A expressão $(x^{10})^x = 10$ é uma equação? Isto é, você busca um valor

tal que $(x^{10})^x$ seja igual a

? Veja que esta expressão não é uma identidade!!

por **matheus_frs1** » Qua Mai 14, 2014 21:30

Exatamente, Russman, é uma questão desafio para achar o valor de x. Só que a questão é muito esquisita, pq o mesmo x que está na base, tá lá no expoente. Joguei no Wolfram e ele me deu $-\frac{1}{10}$ , mas não mostrou o processo de cálculo.

por **Russman** » Qua Mai 14, 2014 23:55

Ah, sendo uma equação então faz sentido!

Você não é o 1° a buscar uma solução para este tipo de equação. A sua equação é resolvida através de uma função conhecida como Função W de Lambert. Assim como a velha e boa função logarítmica, esta função é uma função transcendental e os pontos de sua imagem são calculados por Séries de Taylor. Em outras palavras: a solução da sua equação não é algébrica e não basta conhecer as funções exponencial e logarítmica para resolvê-la.

matheus_frs1 escreveu:Depois usei a mudança de base para chegar em , e como log de 10 é 1 eu cheguei naquilo q te mandei.

Você pode chegar nesta expressão mais rapidamente! Aplique a função logaritmo de base 10 ( $\log$ )na equação. Assim, a expressão obtida é

$\left (x^{10} \right )^{x} = 10 \Rightarrow x\log x^{10} = 1 \Rightarrow 10x\log x = 1 \Rightarrow x \log x = \frac{1}{10}$

A expressão $x \log x = \frac{1}{10}$ possui a solução exata dada por

$x = e^{W(\frac{1}{10})}$

onde W(x)

é a tal Função W de Lambert e

é o Número de Euler.

Isto dá aproximadamente x=1,209

. De fato, calculando $(1,209)^{12,09}$ você obtém 9,92

aproximadamente. Note que com 3 casas de precisão obtemos um erro +-0,07 no valor exato. Não é de todo mal.

por **matheus_frs1** » Qui Mai 15, 2014 00:19

Vish, não faço ideia do que seja isso, deve ser de matemática superior, né? Mesmo assim, vlw, Russman, vc é craque em matemática, hein?

por **Russman** » Qui Mai 15, 2014 23:38

É, matemática do ensino superior. Mas não se deixe impressionar, apenas apaixonar! hahah. Essa função W está no mesmo saco que as funções logarítmica, exponencial, seno e cosseno que, certamente,pela boa argumentação sobre o desenvolvimento das propriedades do logaritmo que me escreveu , você deve estar acostumado a manipular. Portanto, utilizá-la é também uma questão de tempo de costume. (:

Bons estudos!!

por **matheus_frs1** » Dom Mai 18, 2014 15:29

Russman, me conte mais sobre essa função W de Lambert...

Todo equação do tipo ${a}^{x}= bx$ eu tenho que usar esse raciocínio?

Por exemplo, ${4}^{x}=2x$ , tenho x no expoente do primeiro membro e x no segundo membro também. Se sim, gostaria de saber como devo proceder nesses tipos de exercícios, pq eu não entendi mto bem a resolução e também não encontrei vídeos a respeito.

Se não for muito incomodo, você pode me ensinar um "passo-a-passo"?

Obrigado.

por **Russman** » Dom Mai 18, 2014 22:49

Uma equação do tipo a^x = bx

pode ser resolvida usando a Função W de Lambert.

Partamos da sua definição.

Se $x \in \mathbb{R}$ é tal que

x e^x = k

, $k \in \mathbb{R}$

então x = W(k)

.

Ou seja, se existir solução(ões) para a equação do tipo xe^x - k=0

(1) então nossa esperança é que ao menos uma seja obtida pela função W de Lambert.
A sua equação pode ser escrita dessa forma fazendo uma mudança de variável conveniente. Isto é, vamos mudar da variável

para uma outra

. Mas antes, caso você não o conheça, vamos falar de

.Este número

é o chamado Número de Euler. É um número irracional. É com ele que se define a função exponencial f(x) = e^x

. Note que podemos usar esta função para escrever qualquer outra função de potência em qualquer outra base. Da definição de função logarítmica podemos escrever que

$a= e^{\ln a}$

onde $\ln(x)$ é a função logarítmica de base

.

Assim, podemos começar a transformar a sua equação da forma

$a^x = bx \Rightarrow e^{x\ln a}=bx$ .

Você lembra que para quaisquer Reais $c \neq 0$ e

vale $c^{x}.c^{-x} = 1$ ? Então, vamos multiplicar a expressão obtida em ambos membros por $e^{-x \ln a}$ :

$e^{-x\ln a} . e^{x\ln a}=e^{-x\ln a}bx \Rightarrow 1 = be^{-x\ln a}x$

Estamos quase lá!! Para colocar, finalmente, a equação na forma desejada (1) basta agora multiplicá-la por $-\frac{\ln a}{b}$ . Veja

$-\frac{\ln a}{b}.1 = -\frac{\ln a}{b}.be^{-x\ln a}x\Rightarrow -\frac{\ln a}{b} = (-x \ln a)e^{-x \ln a}$

Pronto! Se você tomar $y = -x \ln a$ e $k = -\frac{\ln a}{b}$ , então a equação acima se muda para

ye^y=k

que é exatamente o tipo de equação resolvida pela Função W de Lambert.

Portanto, temos

y=W(k)

de onde, fazendo a substituição inversa

$-x \ln a = W\left ( -\frac{\ln a}{b} \right )$

que calcula

$x = - \frac{1}{\ln a} W\left ( -\frac{\ln a}{b} \right )$

Se você deseja solucionar a equação 4^x = 2x

basta tomar,como eu imagino que você saiba, a=4

e

. Assim,

$x = - \frac{1}{\ln 4} W\left ( -\frac{\ln 4}{2} \right ) = - \frac{1}{2 \ln 2} W\left ( -\ln 2 \right )$

Esta seria a solução. Entretanto, examinando melhor a equação 4^x= 2x

notamos que ela não possui solução Real. :(
É fácil de notar isto. Faça o gráfico de f(x) = 4^x

e sobreponha ao gráfico de g(x) = 2x

. Você verá que a função f(x) = 4^x

cresce muito rapidamente de modo que a função g(x) = 2x

não a consegue alcançar em nenhum ponto

. Isto é, não existe $x \in \mathbb{R}$ tal que f(x) = g(x)

.

Um caso interessante é considerar a equação 2^x = 2x

. Repetindo o processo de graficar as funções nota-se facilmente que esta equação tem duas soluções x = 1

e

. É fácil de verificar. De fato,

2^1 = 2.1

Aplicando a função W temos a solução

$x = - \frac{1}{\ln 2} W\left ( -\frac{\ln 2}{2} \right )$ .

Agora, este número vale

ou

ou nenhum destes( no caso de termos azar). Da própria definição de função não pode existir dois valores para um mesmo

. Então a função W fornece ao menos uma raiz(ou nenhuma) da equação, como eu citei antes.

Mais ou menos isso que você queria?

por **sayurimatsuo** » Seg Mai 19, 2014 11:20

Pessoal, alguém conhece um site onde eu possa tirar dúvida sobre finanças?
Estou com complicação no meu fluxo de caixa, não consigo realizar as contas direito, e o sistema está desconfigurado.
Achei esta empresa, Cenize, alguém conhece? http://cenize.com/jfinancas/controle-fi ... mpresarial

Obrigada!

por **matheus_frs1** » Qui Mai 29, 2014 10:21

Caramba, Russman... a primeira vista assim (pra quem nunca viu matemática a nível de ensino superior) parece um tanto complicadinho. Mas obrigado por me esclarecer, vou tentar aplicar em algum outro exercício. Se for uma receitinha de bolo, acho q dá pra resolver algumas questões seguindo esse seu processo. Obrigado, Russman.

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