Dúvida superficial - limites no infinito

por **phfrito** » Qui Mai 08, 2014 19:26

Minha dúvida esta no angulo de resolução de 2 problemas.

1º $\lim_{x-> \infty} \frac{3x+1}{2x-5}$

Eu resolvi substituindo o limite primeiramente, ficou: $\frac{\infty}{\infty}$ que diante de meus conhecimentos (corriga se eu estiver errado) é igual a $+ \infty$ . No entanto o gabarito simplifca a equação deixando o X em evidencia resultando em $\frac{3}{2}$ . Se eu estiver correto, porque simplificar a equação?

2º Nao consegui resolver a raiz de limite $\lim_{x->\infty} \sqrt[]{x}$

Tudo que eu sei sobre as operações básicas entre limites é que podemos multiplicar, dividir, somar e subtrair limites somente com jogo de sinais, a unica inderterminação seria $+ \infty + (- \infty)$ e $- \infty - (- \infty)$ .

alguma objeção?

obrigado pela atenção! ph

por **Russman** » Qui Mai 08, 2014 23:02

No 1° caso você obtém por substituição direta de

por $\infty$ uma indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$ . Ou seja, o limite da função, certamente, é um número. Porém, você não conseguirá calculá-lo da forma que está fazendo. Então, nessas situações, a saída é simplifica a função de modo a obtermos esse número indeterminado a princípio. De fato, se você divide o numerador e denominador por

vai obter tanto no primeiro quanto no último uma parcela do tipo $\frac{1}{x}$ que, no limite $x \to \infty$ , resulta em

e se obtém a resposta do limite com as parcelas restantes.

No 2° caso quando você substitui

por $\infty$ obtém, de imediato, $\infty$ . Este, por sua vez, não é uma indeterminação. Assim, este deve ser o resultado do limite.

por **phfrito** » Sex Mai 09, 2014 14:26

Vi um video na internet que infinito divido por infinito ( se ambos forem positivos) o resultado é infinito?!

por **e8group** » Sex Mai 09, 2014 14:36

Falso . Basta tomar um contra-exemplo , f(x) := epx(x) + x^2

e

. É claro que $0 \leq x^2 < exp(x) + x^2$ .Logo para qualquer que seja

, tem-se $0 \leq \frac{x^2}{exp(x) + x^2 } < 1$ . E além disso , o limite de ambas funções no infnito é $+ \infty$ .

por **Russman** » Sex Mai 09, 2014 14:54

phfrito escreveu:Vi um video na internet que infinito divido por infinito ( se ambos forem positivos) o resultado é infinito?!

Depende da situação. A função $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$ , por exemplo. Se tomarmos o limite $x \to \infty$ vamos obter, de imediato, $\frac{\infty}{\infty}$ . Como é uma indeterminação precisamos investigar melhor esse limite. Fazendo isso constatamos que, na verdade, essa função tende a $\infty$ . Quando é indeterminação tudo pode acontecer! kkk Mas, os casos mais famosos são pra limites para números reais como no exemplo do santhiago!