Resolução de Limite

por **phfrito** » Qua Mai 07, 2014 23:16

estou com uma dificuldade tremenda para resolver limites contendo polinomios do primeiro e segundo grau especialmente este : $\lim_{x->2} \frac{{x}^{3} +3{x}^{2}-12x +4}{{x}^{3}-4x}$

alguem tem algum método para fatorar?encontrar raízes? me deem uma luz.. ja estou há 2 dias na internet procurando algo mas nada consegue satisfazer o ensino para terminar de resolver esse tipo de limite, não só esse em especial, vários outros envolvendo polinomios tenho bastante dificuldade para resolver.

abraços

por **e8group** » Qui Mai 08, 2014 02:36

Dica para calcular limites de funções racionais (razão de polinômios )

Queremos computar limites de funções racionais : $\lim_{x\to a } \frac{p(x)}{q(x)}$ .

Primeiramente , certifique-se

é raiz de

e

.Isto é , se p(a) = q(a) = 0

.

Se isto acima não ocorrer , não teremos indeterminação (0/0) e assim o calculo do limite segue diretamente pela regra do quociente . Possa ser que este limite seja finito ou não .

Agora suponha que a situação descrita acima ocorra .
Neste caso, podemos reescrever cada polinômio como expressões da forma (x-a)h(x)

( onde

é um polinômio ) que por conseguinte os fatores em comum se cancelam no calculo do limite . Após esta etapa , caímos novamente no problema de computar limites de funções racionais . E novamente fazemos a mesma verificação .

Para reescrever um dos polinômios como (x-a)h(x)

em geral dividimos ele por x -a

. Porém não é a único modo embora mais comum .

É possível fatorar p(x) = x^3 + 3x^2 -12x +4

sem o método da divisão também , bem como você quiser .

p(2) = 0

.

E

.

Os termos entre parêntesis avaliados em x = 2 são diferentes de zero (mas soma deles zero , certo ?) .

A saber , (2^3 + 3 2^2 ) = 20

e $(-12\ cdot 2 +4) = -20$ .

Soma-se então

em

e

em $(-12\ cdot x +4)$ , desta forma ambas parcelas zeraram em x = 2 e terão o mesmo fator x-2 em comum que poderemos deixá-ló em evidência . Além disso , a igualdade permanece

$p(x) = (x^3 + 3 x^2 - 20 ) + (-12\ cdot x + 4 -20 ) = (x^3 + 3 x^2 - 20 ) + -12(x -2)$ .

E também (fazendo manipulações análogas com o mesmo objetivo )

(x^3 + 3 x^2 - 20) = (x^2[x +3 ] - 20) = (x^2[x -2 + 5 ] -20) = (x^2[x-2] + 5x^2 -20) = (x^2[x-2] + 5[x^2 -4])

(x^3 + 3 x^2 - 20) = (x^2[x +3 ] - 20) = (x^2[x -2 + 5 ] -20) = (x^2[x-2] + 5x^2 -20) = (x^2[x-2] + 5[x^2 -4])

.

Porém sabemos que x^2 -4 = (x-2)(x+2)

. E com isso

(x^2[x-2] + 5[x^2 -4]) = (x^2[x-2] + 5[x-2][x+2]) = [x-2](x^2 +5x +10)

.

Juntando os resultados

(x^3 + 3 x^2 - 20 ) -12(x -2) = [x-2](x^2 +5x +10) -12[x -2] = [x-2](x^2 +5x + 34)

e

Quanto o denominador mais simples .

q(x) = x^3 - 4x = x(x^2 -4) = x(x-2)(x+2)

Logo $\lim_{x\to 2} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x\to 2} \frac{[x-2](x^2 +5x + 34)}{x(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2 +5x + 34}{x(x+2)}$ (pois x tende a 2 , x não é igual a 2) .

Vale ressaltar que nem sempre é simples reescrever polinômios em sua forma fatorada sem a divisão do mesmo por x - a

.Portanto , o método é mais recomendado .

Uma formula útil :

x^n - a^n , n = 2,3,4,5,...

Divida

por

para obter uma fórmula que escrita na forma compacta de soma (ajuda a memorização da mesma ) é

$x^n - a^n = (x-a)\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} a^{k}$ .

Aceitando que a formula é verdadeira ,temos x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)

.

Em consequência , temos outra forma de fatorar p ,

p(x) = (x^3 - 2^3) + 2^3 + 3x^2 -12x +4 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) + 3x^2 -12x + 12

Agora

.

É fácil calcular as raízes eq. segundo grau , uma já sabemos q é

e a outra podemos ver que também é 2 , multiplicidade 2 , pois $x^2 -4x +4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (-2) + (-2)^2)$ que é o desenvolvimento de (x-2)^2

. Logo ,

Juntamos o que temos

(x-2)(x^2 + 2x + 4) + 3(x-2)^2 = (x-2)(x^2 +2x +4 -3x -6)

.

por **e8group** » Qui Mai 08, 2014 16:34

Uma generalização que pode ser útil (divisão de polinômios por termos lineares) . Objetivo é obter uma fórmula para reduzir os cálculos , fórmula esta como como $x^n - a^n = (x-a)\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} a^k x^{n-1-k}$ que de fácil memorização .Com isso ganhamos praticidade na fatoração de expressões como $x^3 - a^3 , x^{10} - a^{10}$ e etc . A motivação é o polinômio de grau

incompleto , o coeficiente $a_n \neq 0$ e os demais nulo

. Isto é , p_n (x) = a_n x^n

.

Escreva p_k(x) = a_k x^k

com $k = 1,2,3, \hdots , n$ .

Também podemos escrever $p_k(x) = a_k x^k = a_kx^k + 0 = a_k \cdot x^k + (a_k \cdot a^k -a_k \cdot a^k) = a_k(x^k -a^k) + a_k \cdot a^k$ .Porém sabemos que ,

$x^k - a^k = (x-a) \sum_{\lambda = 0}^{k-1} a^{\lambda} \cdot x^{k-1-\lambda}$ .

Para simplificar as notações , definamos o polinômio $h_{m} (x): = \sum_{\lambda = 0}^{m} a^{\lambda} \cdot x^{m-\lambda}$ .

Desta forma temos

$\boxed{ p_k(x) = a_k(x-a)h_{k-1} + a_k \cdot a^k } , k=1,2,3,...,n$ .

Agora dado um polinômio qualquer de grau n que se exprimir por

$p(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{n} p_k(x)$ que devido a fórmula destacada ,

$p(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{n}(a_k(x-a)h_{k-1} + a_k \cdot a^k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n} a_k(x-a)h_{k-1} + \sum_{k=1}^n a_k a^k$ ou ainda

$p(x) = \left(\sum_{k=0}^n a_k \cdot a^k \right) + \left((x-a) \cdot \sum_{k=1}^{n} a_kq_{k-1} \right)$ .

A primeira expressão entre parêntesis (resto da divisão de p por (x-a) ) é o p(x)

avaliado no ponto

, isto nos permite escrever

$\boxed{p(x) = p(a) + (x-a) \cdot \sum_{k=1}^{n} a_kh_{k-1} }$ onde

$\boxed{ h_{k-1} = \sum_{\lambda = 0}^{k-1} a^{\lambda} \cdot x^{k-1-\lambda} } , k = 1,2,3,\hdots , n$ .

Interessante é quando

é raiz de

. Isto nos fornece uma formula prática para fatorar polinômios , quando sabemos uma de suas raízes (especialmente polinômios de grau maior que 2) .

Em particular se p(x) = x^2 -2x +1

, verificamos que

$p(1) + (x-1) \cdot \sum_{k=1}^{2} a_k \cdot q_{k-1} =(x-1) \cdot (a_1 q_0(x) + a_2 q_1(x)) = (x-1) \cdot ( -2 q_0(x) + q_1(x))$

Agora

$h_0(x) = \sum_{\lambda=0}^0 1^{\lambda}x^{0- \lambda} = 1 ; h_1(x) = \sum_{\lambda=0}^1 1^{\lambda}x^{1- \lambda} = x + 1$

Logo

$p(1) + (x-1) \cdot \sum_{k=1}^{2} a_k \cdot q_{k-1} = (x-1)(-2 \cdot 1 + x +1) = p(1) +(x-1)^2 = (x-1)^2$

É claro que está fórmula é apenas útil quando conhecemos uma raiz de um polinômio de grau maior ou igual a de 3 .

Mas em geral , se q é qualquer polinômio , o raciocínio pode ser assim , seja

$p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k + \sum_{k=m}^n a_k x^k a_n \neq 0 (*)$ com $2 \leq n \geq m \geq 2$ .Defina também , $q(x) := \sum_{j=0}^s b_j \cdot x^{j} , b_s \neq 0$ com $deg(q(x)) = s \leq m \leq n$ .

Agora $q(x) (a_k x^k) = ( q(x) - b_s x^s + b_s x^s )(a_k x^k) = (q(x) - b_s \cdot x^s) a_kx^k + (b_s x^s)(a_kx^k)$ com $s \leq k = m,m+1,\hdots , n$ . Dividindo todos os termos por b_s x^s

( a princípio suponha $x \neq 0$ )

$q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} = (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} + a_kx^k$ com isso concluímos que $a_kx^k = \boxed{q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} }$ . ( $b_s \neq 0$ por hipótese ) .

A fórmula também é verdadeira para x = 0

pois

.

Assim , podemos substituir todos os termos a_k x^k

com

pela fórmula correspondente ,

$p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k + \sum_{k=m}^n \left(q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} \right) \iff [tex] p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k -\sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} \cdot (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot x^{k-s} \right) + q(x) \sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} x^{k-s}$ .

O mais importante é entender como os a_k x^k

foram obtidos .

Exemplificar :

Seja a_1 = a_2 = a_3 = 1

e $q(x) = x + 2 \implies b_1 = 1$ .

Dá fórmula

$q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} } = a_n [tex] [tex] a_1 x = (x+2) - 2 \cdot 1$

$a_2x^2 = (x+2)x - 2 \cdot x^2$

$a_3x^3 = (x+2)x^2 - 2 \cdot x^2$

Somando os resultados o ou equivale temente

$\sum_{i=1}^3 a_i x^i = (x+2)[1 +x + x^2] - 2 - 2x^2 - 2x^2 = (x+2)[1 +x + x^2]+ -2 -4x^2$ .

Quando dividimos p por