Trigonometria - Equações

[Fontelles]

Boa noite, pessoal! Sou novo por aqui. Este é o meu primeiro tópico. Estudo pela coleção do Gelson Iezzi - Trigonometria atualmente, e me deparo com algumas inconstâncias do gabarito dado.
A Questão que me atordoa no momento é a seguinte:
- Obtenha as soluções da equação: sen4x+ cos4x = 1
Respondi da seguinte forma:
sen4x + cos4x = 1
cos4x = 1 - sen4x
Sabe-se que: cos²x + sen²x = 1, logo,
sen²4x + cos²4x = 1
sen²4x + (1-sen4x)² = 1
sen²4x + 1 -2sen4x + sen²4x = 1
2sen²4x - 2sen4x = 0
2sen4x(sen4x - 1) = 0
sen4x= 0 ou sen4x=1
Para sen4x=0 => sen4x = sen0
4x = 0 + 2kpi => x = kpi/2
ou
4x = pi + 2kpi => x = pi/4 + kpi/2
Para sen4x = 1 => sen4x = sen(pi/2)
4x = pi/2 +2kpi => x = pi/8 + kpi/2
S={x € R | x = kpi/2 ou x = pi/4 + kpi/2 ou x = pi/8 + kpi/2}
Bom, como havia dito, o gabarito não corresponde à minha solução. O gabarito é este:
x = kpi/2 ou x = pi/8 + kpi/2
Alguém pode me dizer se sou eu ou o livro que está errado?

[Elcioschin]

Lembrando que 2*sena*cosa = sen2a

sen4x + cos4x = 1 ----> (sen4x + cos4x)² = 1² ----> sen²4x + cos²4x + 2*sen4x*cos4x = 1 ----> 2*sen4x*cos4x = 0 --->

sen8x = 0 ---> Temos duas soluções:

8x = 2kpi ----> x = kpi/4

8x = 2kpi + pi ----> 8x = (2k + 1)pi -----> x = (2k + 1)pi/8

Na primeira volta (para 0 =< k =< 8) temos:

k = 0 ----> x = 0 ou x = pi/8
k = 1 ----> x = pi/4 ou x = 3pi/8
k = 2 ----> x = pi/2 ou x = 5pi/8
k = 3 ----> x = 3pi/4 ou x = 7pi/8
k = 4 ----> x = pi ou x = 9pi/8
k = 5 ----> x = 5pi/4 ou x = 11pi/8
k = 6 ----> x = 3pi/2 ou x = 13pi/8
k = 7----> x = 7pi/4 ou x = 15pi/8
k = 8 ----> x = 2pi


Os arcos variam de pi/8, logo a solução geral é ----> x = kpi/8

[Fontelles]

Elcioschin, você pode me mostrar onde errei, por favor?

[Elcioschin]

Fontelles

Você não errou. Você somente deixou de apresentar a resposta na forma mais adequada.

Vou copiar o final da sua demonstração e mostrar as alterações necessárias em vermelho:
sen4x = 0 ou sen4x =1

Para sen4x = 0 => sen4x = sen0

4x = 0 + 2kpi => x = kpi/2
ou
4x = pi + 2kpi => x = pi/4 + kpi/2 ----> x = (2k + 1)pi/4

Para sen4x = 1 => sen4x = sen(pi/2)
4x = pi/2 + 2kpi => x = pi/8 + kpi/2 ----> x = (4k + 1)pi/8

Note agora, que, na sua 1ª resposta ----> x = kpi/2 = 4kpi/8 ----> Múltiplos de pi/8
Note também que, na sua 2ª resposta ---> x = (2k + 1)pi/4 = 2*(2k + 1)pi/8 ---> Múltiplos de pi/8
E finalmente na sua 3ª resposta ----> x = (4k + 1)pi/8 ----> Múltiplos de pi/8

S={x € R | x = kpi/8}

Assim, a resposta do livro não está errada. Mas poderia ser uma resposta mais simples:

x = Kpi/8 ----> Para K = 4k ----> x = kpi/2 ---> Resposta do livro

Outra resposta do livro ---> x = pi/8 + kpi/2 ----> x = (4k + 1)*(pi/8) ----> múltiplo de pi/8 ----> Kpi/8

Deu para entender ?

[Fontelles]

Uhhhh! Valeu, Elcioschin!