[Base] Encontrar uma base e a dimensão do subespaço

por **anderson_wallace** » Sex Jan 10, 2014 00:48

Seja $V={M}_{2,2}$ , e seja

o subespaço gerado por

$\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\ , \ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\ , \ \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -5 & 7 \end{pmatrix} \ , \ \begin{pmatrix} 1 & -7 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$

Encontrar uma base e a dimensão de W.

Sempre que é dado um conjunto gerador e quero encontrar uma base de um subespaço de ${R}^{n}$ uso um algoritmo dado no livro do seymour lipschutz, que consiste basicamente em escrever os vetores do conjunto gerador como colunas de uma matriz, escalona-la, e daí para cada coluna ${C}_{k}$ da matriz escalonada que não tiver pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha) retirar o vetor ${u}_{k}$ do conjunto gerador. No fim, os vetores que restarem formam uma base do subespaço.

Mas nesse caso não estou trabalhando com n-uplas ordenadas, assim não tenho como escrever os elementos desse conjunto gerador como colunas de uma matriz. Como obter uma base para o conjunto em questão? Ou de modo mais geral, como proceder para encontrar uma base de um subespaço de matrizes de ordem n quando é dado um conjunto gerador?

por **e8group** » Dom Jan 12, 2014 19:16

Tenho uma ideia . Considere $A_1 , A_2 ,\hdots ,A_n$ matrizes $p \times q$ linearmente independentes (L.I.) . Vamos designar o elemento da matriz $A_k ,(k=1,\hdots,n)$ por $[A_k]_{ij}$ (encontro da i-ésima linha com a j-ésima coluna da matriz A_k) com $i=1,\hdots ,p$ e $j=1, \hdots ,q$ . Tomemos a combinação linear nula

$\sum_{k=1}^n \alpha_k A_k = \alpha_1 A_1 + \hdots + \alpha_n A_n = O_{p\times q}$ = matriz nula de ordem $p\times q$ .

Daí ,teremos o sistema de $p\cdot q$ equações para

incógnitas .

$\sum_{k=1}^n \alpha_k [A_k]_{ij} = 0$ (i=1,...,p ; j=1,...,q)

ou na forma matricial

$A \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_{n\times 1}$ em que

é uma matriz $(p\cdot q) \times n$ ;e a cada $m \in \{1,2,\hdots ,pq\}$ associamos um único vetor $V_{ij} = ([A_1]_{ij},\hdots , [A_n]_{ij}) \in \mathbb{R}^n$ que representa sua

-ésima linha .

Podemos concluir que se as matrizes A_k

são L.I., então a matriz acima

é invertível e portanto a , p=q

e $det(A) \neq 0$ .

Em resumo ,dada as matrizes $A_1 , A_2 ,\hdots ,A_n$ , para verificar que o conjunto constituído por elas é L.I. , façamos a verificação na seguinte ordem :

(i) Verificar se p=q

(ii) Caso o item (i) seja verdadeiro ,verifiquemos se $det(A) \neq 0$ .

Caso ambos itens acima são verdadeiros ,então o sistema acima só admite a solução trivial ,consequentemente $\{A_1 , A_2 ,\hdots ,A_n\}$ L.I.

Exemplo .

Pelas 4 matrizes de ordem $2 \times 2$ que você postou ,podemos formar por exemplo a seguinte matriz de ordem $(2\cdot 2) \times 4 = 4 \times 4$ (a primeira condição já é verdadeira )

$\begin{pmatrix} 1 & 1 &2 & 1 \\ -5& 1 &-4 & -7 \\-4 & -1 & -5& -5 \\ 2& 5 &7 & 1 \end{pmatrix}$ .

Este é um exemplo (não o único) ,basta permutar as linhas da matriz acima que obterá outras possibilidades .

Vamos verificar o item (ii) , usando o wolfram alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... 2C+1%7D%7D

podemos ver que o determinante da matriz é nulo ; logo ela não é invertível ,logo o conjunto constituído pelas matrizes dadas não é uma base do espaço vetorial dado .

Espero que ajude .Se notar algo errado por favor post .

por **anderson_wallace** » Seg Jan 13, 2014 23:24

Não conhecia essa propriedade que envolve do determinante da matriz. É um método bem prático para determinar se as matrizes são L.I. ou L.D..
Havia tentado encontrar o subespaço gerado, isto é, encontrar uma notação geral para todas as matrizes que podem ser escritas como combinação linear dessas e daí encontrar uma base, mas não deu certo (o escalar que multiplicava a última matriz não tinha como ser 'eliminado').
Estive estudando melhor esse exercício e acho que a única forma de encontrar uma base desse subespaço a partir desse conjunto gerador é testando para verificar qual matriz é combinação linear da demais, e assim remover do conjunto.

Obrigado pela ajuda!