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[INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

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Mensagempor Matemagica » Sáb Dez 14, 2013 05:31

É possível calcular a área da região B delimitada pelas curvas x = y² + 1 e x + y = 3? Se sim, calcule.

Sei que posso encontrar a área do conjunto de integração B através da integral dupla da função constante f(x,y) = 1, assim:
{A}_{B}=\int_{} \int_{B} 1  dx dy

mas como calcular a área compreendida entre essas curvas?
Quer dizer, como transformo a área entre elas no meu conjunto B?

Pensei em fazer a interseção delas, para ver onde se encontram.. fiz isso:

y = {x}^{2} + 1

x + y = 3

 \Rightarrow x + ({x}^{2} + 1) = 3 

\Rightarrow  {x}^{2} + x - 2 = 0

\Rightarrow x = 1 ou x = -2

assim, vai estar variando em [-2,1] em x.

e y variando entre as funções,
y = {x}^{2} + 1
e
x + y = 3 
\Rightarrow y = 3 - x

só que então, preciso descobrir qual curva está 'abaixo' e qual está 'em cima'.
para isso, peguei um valor entre x pertencente a ]-2,1[. por exemplo, x = 0

assim,
y = {0}^{2} + 1
\Rightarrow y = 1
e
y = 3 - 0 
\Rightarrow y = 3

logo, varia em y, entre (nessa ordem)
y = {x}^{2} + 1
e
y = 3 - x

e aí, ficaria mais ou menos assim o cálculo dessa área:


\int_{-2}^{1} \int_{{x}^{2} + 1}^{3 - x} dy dx

é isso mesmo, galera?
e se estiver correto, o que acharam da minha 'metodologia'? há um modo mais direto? o que vocês mudariam?

obrigado pela ajuda e aguardo sua resposta!!
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Re: [INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Matemagica » Sáb Dez 14, 2013 20:25

alguém pode me ajudar? só quero saber se o que fiz está correto :/
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Re: [INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Russman » Sáb Dez 14, 2013 23:51

Sim. Na verdade a utilização da integral dupla nem era necessária. Bastava que você subtraí-se a área delimitada por y=3-x pela de y=x^2 + 1. Mas, já que vem a integral no exercício, você pode aplicá-la( como você fez) e perceber que os cálculos são s mesmo.
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.