Integral por partes - dúvida

por **Danilo** » Dom Nov 24, 2013 18:20

Resolver $\int_{}^{}{x}^{3}{e}^{-{x}^{2}}dx$

eu fiz até

$\int_{}^{}{x}^{3}{e}^{-{x}^{2}}dx$

$u = {x}^{3}, v = \int_{e}^{-{x}^{2}}dx \Rightarrow v = ?$

eu não sei como encontrar v. Tentei fazer por substituição pois tem uma função composta. Chamei u = $-{x}^{2}$ mas eu não consegui fazer a substituição. Eu gostaria de resolver apenas dessa maneira, se eu puder... pois não adianta eu resolver de outro jeito se eu travei nessa última integral. Alguma luz? Grato desde já

por **e8group** » Dom Nov 24, 2013 20:10

Tome

,derivando-se : -du/2 = xdx

.

A nova integral fica

$-1/2 \int u \cdot e^{u} du$ .

Agora tente por partes .

por **Danilo** » Dom Nov 24, 2013 22:04

santhiago escreveu:Tome ,derivando-se : .

A nova integral fica

$-1/2 \int u \cdot e^{u} du$ .

Agora tente por partes .

Santhiago, com a sua substuição deu certinho mas eu não consegui visualizar como vc substituiu! $-\frac{du}{2} = xdx$ e não dx (corrreto?). Por isso eu não consigo substituir (se eu não estiver errado) aí eu travo!

por **e8group** » Seg Nov 25, 2013 11:24

OK . Primeiro pense : Qual a relação entre -x^2

e

? Para responder esta pergunta , basta notar que $x^3 = (-1)(-1)x \cdot x^2 = [(-1)x] (-x^2)$ .

Além disso, se u = -x^2

então

e assim $\frac{du}{2} = (-1)x dx$ . Agora note que ,

$x^3 e^{-x^2} dx = [(-1)x] (-x^2) e^{(-x^2)} dx = (-x^2) \cdot e^{(-x^2)} [(-1)xdx]$ .

A expressão entre () pode ser substituída por

,já a expressão entre [] pode ser substituída por $\frac{du}{2}$ . Deste modo ,

$\int x^3 e^{-x^2} dx = \int u \cdot e^{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u e^u du$ .

Peço desculpa ,no primeiro post errei contas . De qualquer forma espero que ajude .