[Produto Escalar] Coordenadas em base ortonormal

por **LucasSG** » Qua Mai 29, 2013 17:47

9-26) Prove que as coordenadas de qualquer vetor $\vec{u}$ na base ortonormal B=( $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ) são iguais aos produtos escalares de $\vec{u}$ por $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

Pessoal, estou com uma duvida sobre como resolver esta questão. Poosso afirmar que $\vec{i}=(1,0,0)$ $\vec{j}=(0,1,0)$ , $\vec{k}=(0,0,1)$ ? Toda base ortonormal tem esta forma? Se sim eu consigo resolver, mas não quero afirmar isso sem ter certeza, porque no caso eu não estaria provando nada... *-)

Muito Obrigado desde já!.

por **temujin** » Qua Mai 29, 2013 18:08

Uma base é ortogonal se 2 vetores quaisquer do conjunto são ortogonais. E se eles tiverem norma unitária, a base é ortonormal. Esta em particular, a base canônica, é ortonormal, mas não é a única. Qualquer conjunto com 2 vetores L.I., com norma unitária, é ortonormal.

por **LucasSG** » Qui Mai 30, 2013 16:24

Sim, entendi, então como eu poderia prosseguir para provar?, o enunciado diz que u=(u.i).i+(u.j).j+(u.k).k, como eu mostro que isso é verdade?

por **temujin** » Qui Mai 30, 2013 23:12

Sejam $\vec{u}=(a,b,c) \ , \ \vec{i}=(1,0,0)\ , \ \vec{j}=(0,1,0) \ e \ \vec{k}=(0,0,1)$ .

Podemos escrever o vetor $\vec{u} = a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$

Esta é a expressão dos produtos escalares:

$<\vec{u};\vec{i}>=a.1+b.0+c.0 = a$
$<\vec{u};\vec{j}>=a.0+b.1+c.0 = b$
$<\vec{u};\vec{k}>=a.0+b.0+c.1 = c$