Diferenciação Logarítmica

por **Man Utd** » Dom Mai 26, 2013 16:02

Calcule a derivada da seguinte função $f(x)=x^{x^{x}}$ .

comecei assim:
$\\\\ f(x)=e^{ln x^{x^{x}}} \\\\ f(x)=e^{x^{x}*ln x} \\\\ \frac{dy}{dx}=\frac{d(e^{x^{x}*ln x})}{dx} \\\\ \frac{dy}{dx}=\frac{d(e^{x^{x}*ln x})}{du}*\frac{d(x^{x}*ln x)}{dx} \\\\ \frac{dy}{dx}=e^{x^{x}*ln x}*((x^{x}(lnx+1)).lnx+x^{x}*\frac{1}{x}) \\\\ \frac{dy}{dx}=x^{{x}^{x}}*(x^{x}(lnx+1).lnx+x^{x-1})$

é isso? se não alguém pode me dar dicas? :-D

obrigado desde já.

por **e8group** » Dom Mai 26, 2013 16:26

Considere : h(x) = x^x , exp(x) = e^x

.Temos : $f(x) = (h\circ h)(x)$ .Assim , pela regra da cadeia , $f'(x) = ([h'\circ h] \cdot h')(x) = \frac{d h(h(x))}{d(h(x))} \cdot \frac{dh(x)}{dx}$ . Como $h(x) = x^x = e^{ln(x^x)} = epx(x\cdot ln(x))$ .Novamente pela regra da cadeia ,temos : $h'(x) = exp'(x\cdot ln(x)) \cdot (x\cdot ln(x))'$ que devido a regra do produto , $h'(x) = exp(x\cdot ln(x)) \cdot (x' \cdot ln(x) + x\cdot ln'(x)) = exp(ln(x^x)) \cdot (ln(x) + 1) = x^x \cdot (ln(x) +1)$ .

(Claro que está implícito x> 0

) .

Lembrando que : $f'(x) = ([h'\circ h] \cdot h')(x) = h'(h(x)) \cdot h'(x)$ .Basta substituir o resultado acima .

por **Man Utd** » Dom Mai 26, 2013 17:50

olá santhiago,eu não posso deixar do jeito que está?(Verifiquei a resposta no wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... x%5Ex%29+# )
obrigado pela paciência.