[Integral] Duvidas

por **fabriel** » Sex Abr 26, 2013 02:55

E ai pessoal, blz. Estou com uma duvida na resolução!!
Então preciso calcular o comprimento da curva dada em forma parametrica:
x=1-cost

, $0 \leq t \leq \pi$

E calculando...
$\frac{dy}{dt}= 1 - cos t$ e $\frac{dx}{dt}= sen t$ .

O comprimento da curva será dada pela integral:
$\int_{0}^{\pi}\sqrt[]{{sen}^{2}t+{\left(1-{cos}^{2}t \right)}^{2}}dt$

E arrumando essa integral teremos:
$\sqrt[]{2}\int_{0}^{\pi}\sqrt[]{1-cos t}.dt$

E ai que vem o problema, eu não consigo sair dessa integral, Ja tentei por partes e nada!!
Se puderem me ajudar eu agradeceria!!

por **e8group** » Sex Abr 26, 2013 11:47

Como

cos(t) = cos(t/2 +t/2) = cos^2(t/2) - sin^2(t/2) = 1 - 2sin^2(t/2)

. Então :

$\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-cos(t))}dt = 2 \int_{0}^{\pi} \sqrt{sin^2(t/2)}dt =2 \int_{0}^{\pi} sin(t/2)dt$ .

Tente concluir .

por **fabriel** » Sex Abr 26, 2013 13:45

Entendi, mas eu calculei e a resposta não bateu. Veja só:

Desejamos calcular essa integral
$2\int_{0}^{\pi}sin\left(\frac{t}{2} \right)dt$

Chamando $u=\frac{t}{2}$ logo $du=\frac{1}{2}dt$

Então
$2\int_{0}^{\pi}sin\left(\frac{t}{2} \right)dt$ = $4\int_{0}^{\pi}sin(u)du$

E resolvendo a integral obtemos:
$-4cos\left(\frac{t}{2} \right)$

E avaliando nos pontos 0 e pi, teremos a expressão:
$-4cos\left(\frac{\pi}{2} \right)-\left(-4cos\left(\frac{0}{2} \right) \right)=-4.0-\left(-4.1 \right)=0+4=4uc$

Obrigado ai pela ajuda. O meu problema é que não estou muito familarizado com identidades trigonemétricas^^ :-D

por **e8group** » Sex Abr 26, 2013 15:23

Tem certeza que a resposta está errada ? De acordo com o wolframalpha , http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... t%29%7D+dt

por **e8group** » Sex Abr 26, 2013 15:38

Só acrescentando aqui fala sobre identidades trigonométricas .Pessoalmente não consigo lembrar de todas identidades ,mas apenas com as fórmulas cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) , sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)