[LIMITES] Função de duas variáveis

por **Sohrab** » Ter Abr 23, 2013 03:18

Estou em um exercício onde pede-se para calcular o seguinte limite:

$\lim_{x,y\rightarrow0,0} \frac{{x}^{³}+{y}^{³}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$

reescrevendo..

$\lim_{x,y\rightarrow0,0} x\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}} +\lim_{x,y\rightarrow0,0} y\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$
certo?

ai me disseram para usar o teorema do limite de função limitada vezes função que vai pra zero, que o limite daria zero..
mas cadê a função limitada ai? podem me ajudar? obrigado!!

edit: outra dúvida pertinente ao assunto.. como posso provar que um limite desse tipo não existe? Obrigado.
edit2: creio que a minha dificuldade esteja em 'perceber' e provar que uma função é limitada. como posso fazer isso?

por **young_jedi** » Ter Abr 23, 2013 11:58

a função limitada é o seguinte

$\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}$

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

$\frac{x^2}{x^2+y^2}<1$

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

$\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1$

mais temos que

$\lim_{x,y\to0,0} x.1=0$

então

$\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0$

poceda de forma semelhante para o outro limite

por **Sohrab** » Ter Abr 23, 2013 14:30

Entendo.. mas porque ela precisa ser limitada? Bastaria que o limite convergisse, não? porque ai seria 0*(algum número real) = 0

por **young_jedi** » Ter Abr 23, 2013 20:18

sim, é exatamente isso que quer dizer limitada, significa que ela possui um valor maximo, ou seja multiplicada por zero resultara em zero

por **Sohrab** » Qua Abr 24, 2013 01:12

young_jedi escreveu:a função limitada é o seguinte

$\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}$

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

$\frac{x^2}{x^2+y^2}<1$

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

$\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1$

mais temos que

$\lim_{x,y\to0,0} x.1=0$

então

$\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0$

poceda de forma semelhante para o outro limite

estava aqui pensando.. como você sabe que a função é limitada superior e inferiormente por 1?
Porque veja..

para x e y diferentes de 0

y² > ou = 0

somando x²..

y² + x² > ou = 0 + x²

dividindo ambos os lados por x²+y²

1 > ou igual $\frac{x^2}{x^2+y^2}$

isso nos provou que ela é limitada superiormente (ou seja, é sempre menor do que 1)

ai tentei proceder assim para provar que ela é sempre maior do que -1 também:

|x|² = x²

então

$\frac{x^2}{x^2+y^2} = \frac{|x^2|}{|x^2|+|y^2|}$

e ai, fiz
= $|\frac{x^2}{x^2+y^2}|$ < ou = 1
<=> -1 < ou igual $\frac{x^2}{x^2+y^2}$ < ou igual 1
só que acho que está errada essa minha passagem, pois a desigualdade triangular diz que
|a+b| < ou igual |a|+|b|

ou eu posso fazer isso de passar o módulo para a fração toda, já que está tudo ao quadrado?

por **young_jedi** » Qua Abr 24, 2013 09:53

oque voce fez de passar o modulo sobre a fração toda é valido

mais repare que quaisquer que seja x e y a fração vai sempre resultar em um valor positivo portanto ela é sempre maior ou igual a 0 sendo assim seu limite inferior é 0 e não -1

por **Sohrab** » Qui Abr 25, 2013 06:03

opa, tem razão. :y:

por **brunno10** » Qua Mai 01, 2013 00:28

Ola, pessoal!
gostaria de saber se voces tem alguma video-aula referente a como fazer o calculo do limite de uma função que apresente
quiciente indeterminado?
agradeço