Campo conservativo

por **barbara-rabello** » Sáb Abr 20, 2013 17:38

Alguém pode me ajudar ? Sei que posso resolver por campo conservativo, mas não consegui desenvolver!
Seja $F (x,y,z)= (xyf(x^{2}+y^{2}+z^{2}))i + (y^{2}f(x^{2}+y^{2}+z^{2}))j + (zf(x^{2}+y^{2}+z^{2}))k$ ,
onde f: $\Re\rightarrow\Re$ é uma função diferenciável. Seja g: $\Re\rightarrow\Re$ uma
antiderivada de f, tal que g(8) = 10 e g(4) = 2. Calcule $\int_{C} F.dr$ , onde C é a parte da interseção da superfície cilíndrica x² + y² = 4 com o plano z = y, contida no primeiro octante, orientada no sentido antihorário quando vista de cima.

Obs.: é uma função vetorial.

por **young_jedi** » Dom Abr 21, 2013 15:10

por campo conservativo eu não consegui visualizar a solução
mais uma possivel solução seria parametrizar o caminho da integral, definido pela intersecção do cilindro e do plano
teriamos que

x=2cos(t)

com $0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$

então
r=(2cos(t),2sen(t),2sen(t))

subsitiuindo na integral da pra calcular,se tiver duvidas comente

por **marinalcd** » Dom Abr 21, 2013 18:38

também não consegui fazer por campo conservativo.

por **barbara-rabello** » Dom Abr 21, 2013 19:36

Quando tentei desse jeito não consegui terminar, pois não consegui montar a integral,
pois vai aparecer a função f. Como resolver a integral assim?

por **young_jedi** » Dom Abr 21, 2013 22:24

então, substituindo na integral temos

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(2cos(t).2sen(t).f(4cos^2(t)+4sen^2(t)+4sen^2(t)), 4sen^2(t).f(4cos^2(t)+4sen^2(t)+4sen^2(t)),2sen(t).f(4cos^2(t)+4sen^2(t)+4sen^2(t))\Big)\Big(-2sen(t),2cos(t),2cos(t)\Big)dt$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-8cos(t).sen^2(t).f(4+4sen^2(t))+ 8cos(t)sen^2(t).f(4+4sen^2(t))+4sen(t)cos(t).f(4+4sen^2(t))dt$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4sen(t)cos(t).f(4+4sen^2(t))dt$

fazendo

u=4+4sen^2(t)

então a integral fica

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{f(u)}{2}du$

mais como g é a antiderivada de f então

$=\frac{g(u)}{2}\Big|_{0}^{\pi/2}$

$=\frac{g(4+4sen^2(t))}{2}\Big|_{0}^{\pi/2}$

$\frac{g(4+4)-g(4)}{2}=\frac{8-2}{2}=3$

por **barbara-rabello** » Seg Abr 22, 2013 14:24

Muito obrigada pela ajuda! Realmente não sabia como fazer com a função.

Só mais uma pergunta, na hora de parametrizar, não tem problema fazer y=z= 2sen(t)? E porque você não calculou com o intervalo de 0 à $\frac{\Pi}{2}$ ? Não entendi essa passagem.

por **young_jedi** » Seg Abr 22, 2013 14:32

não tem problema substitui z=y=2sen(t)

e eu calculei sim para o intervalo de $\frac{\pi}{2}$

veja que

$g\left(4+4sen^2\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

=g(4+4)=g(8)