Lim envolvendo raizes

por **Erick** » Dom Mar 17, 2013 13:30

Estou tentando resolver o seguinte limite: $\lim_{x->2}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}$ , mas estou tendo problemas para utilizar a formula de ${a}^{3}-{b}^{3}=$ (a-b)*(a^2+ab+b^2) pois eu pesquisei em outros locais mas eles resolvem apenas deixando a parte de baixo (x-2) como a de cima. Estou em duvida se posso resolver a parte de cima ao inves da parte de baixo e se qnd for "simplificar" eu devo sempre colocar a $\sqrt[3]{x}$ ou somente $\sqrt{x}$ para "a".
Ou seja, devo resolver fazendo assim: $\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}$ =........ ou apenas assim $\sqrt{x}-\sqrt{2}$ =.....

Nao sei se vcs entenderam a pergunta e peço desculpas se postei em local errado ou com tema incorreto. Grato desde ja

por **e8group** » Dom Mar 17, 2013 14:32

Observe que $x - 2 = (x^3)^{1/3} - (2^3)^{1/3} = (\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{2})^3$ .

Sabemos que a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2 )

.Substituindo-se $a = \sqrt[3]{x}$ e $b = \sqrt[3]{2}$ obtemos

$(\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2} )( [\sqrt[3]{x}]^2 + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2)$ .

Ou seja , $x - 2 = (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2} )( [\sqrt[3]{x}]^2 + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2)$ .

Agora tente concluir .

por **Erick** » Dom Mar 17, 2013 14:42

Eu estava com exatamente esta duvida. Agr eu entendi, mt obrigado

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