[Integral Indefinida] Aplicada à projeções de população

por **Matheus Lacombe O** » Qui Mar 14, 2013 12:57

- Olá pessoal! Tudo bem?

- Minha professora de cálculo passou já faz algum tempo uma lista de exercícios com cinqüenta questões de integral indefinida do livro do Anton. Com uma certa dificuldade consegui resolver todas - mesmo que não tenha certeza das respostas dos exercícios pares, acredito que estejam certas. Porém, ela passou uma outra questão "solta" - exercício nº70 - em que o autor coloca um problema aplicado. E esta em particular, não consegui.

"Suponha que uma população 'p' de rãs em um lago está estimada no começo de 2005 em 100.000 e que o modelo de crescimento (em milhares) após t anos será de:"

$p'(t)={(3+0.12t)}^{\frac{3}{2}}$

" Estime a população projetada para o começo do ano de 2010."

- Eu tentei fazer uma integral definida do ano 5 até o ano 10:

$\int_{5}^{10}{(3+0.12t)}^{\frac{3}{2}}dt$

u=3+0.12t

$\frac{du}{dt}=0.12$

$\frac{du}{dt}=\frac{3}{25}$

$du=\frac{3dt}{25}$

$\frac{du}{\frac{3}{25}}=dt$

$\frac{25du}{3}=dt$

$\int_{5}^{10}{u^{\frac{3}{2}}\frac{25du}{3}$

$\frac{25}{3}\int_{5}^{10}{u^{\frac{3}{2}}du=\frac{25}{3}.\frac{{u}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}$

$=\frac{25}{3}.\frac{2{u}^{\frac{5}{2}}}{5}$

$=\frac{50{u}^{\frac{5}{2}}}{15}=\frac{10{u}^{\frac{5}{2}}}{3}$

$\frac{25}{3}\int_{5}^{10}{u^{\frac{3}{2}}du=\left[\frac{10{u}^{\frac{5}{2}}}{3}{{\right]}_{5}}^{10}$

- logo:

$\frac{25}{3}\int_{5}^{10}{(3+0.12t)}^{\frac{3}{2}}dt=\left[\frac{10{(3+0.12t)}^{\frac{5}{2}}}{3}{{\right]}_{5}}^{10}$

$=\left(\frac{10{(3+\frac{3}{25}.10)}^{\frac{5}{2}}}{3}\right)-\left(\frac{10{(3+\frac{3}{25}.5)}^{\frac{5}{2}}}{3}\right)$

=120.5-81.9

- Se é "em milhares" então seria 38.500? Isso não faz muito sentido, pois a população começa em 100.000. Gente, onde foi que eu errei?

Grato, desde já.
Att. Matheus L. Oliveira

por **Russman** » Qui Mar 14, 2013 14:08

O tempo é medido na função em "após t anos". Assim, como do início de 2005 até o inicio de 2010 passaram-se 5 anos, você deve fazer a integral de t=0 até t=5 e não de t=5 até t=10.