Limite para o infinito

por **menino de ouro** » Qua Jan 23, 2013 00:03

pessoal ,
nessa questão, como desenrolar as contas , não sei coma analisar?

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[]{9x^2+x}}{x+8}=3$

por que da 3?

por **young_jedi** » Qua Jan 23, 2013 11:30

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{9x^2+x}}{x+8}$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{9x^2+\frac{x^2}{x}}}{x+\frac{8x}{x}}$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x^2\left(9+\frac{1}{x}\right)}}{x\left(1+\frac{8}{x}\right)}$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x.\sqrt{\left(9+\frac{1}{x}\right)}}{x\left(1+\frac{8}{x}\right)}$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{\left(9+\frac{1}{x}\right)}}{\left(1+\frac{8}{x}\right)}$

quando x tende para infinito os dois termos tende para zero portanto

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{\left(9+\cancel{\frac{1}{x}}^0\right)}}{\left(1+\cancel{\frac{8}{x}}^0\right)}=\sqrt{9}$

por **menino de ouro** » Qua Jan 23, 2013 12:12

no

, dentro da raiz quando passa multiplicando , me parece que ta faltando um x?

por **young_jedi** » Qua Jan 23, 2013 14:52

conferi e não encontrei nenhume erro, acho que não entendi sua duvida

por **menino de ouro** » Qua Jan 23, 2013 15:52

na terceira para quarta etapa da resolução,

tem -se x^2

, você colocou um x para fora da raiz quadrada , multiplicando toda raiz , no caso onde foi parar o outro x

por **e8group** » Qua Jan 23, 2013 17:15

Basta notar que devido a propriedade $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ fazendo a = x^2 , b = 9+1/x

e

. Em consequência disto ,
$\sqrt{x^2(9+1/x)} = \left[x^2(9+1/x)\right]^{1/2} = (x^2)^{1/2} \cdot (9+1/x)^{1/2} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{9+1/x} = x \cdot \sqrt{9+1/x}$ (x \geq 0 )