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[Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

[Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

Mensagempor MrJuniorFerr » Sáb Out 27, 2012 20:02

Estou com dúvida no seguinte exercício:

f(x)=\int x.cos(x^2)  dx

Estou com uma certa dificuldade nas integrais trigonométricas neste conteúdo, o resto consigo fazer.

Tentei fazer este, mas não deu certo...
Eu havia feito a seguinte substituição:

u=cos(x^2)

\frac{du}{dx}=-sen(x^2).2x

Após montar a substituição, fiz isto:

\int \frac{x}{-sen(x^2).2x}.\frac{-sen(x^2).2x}{x}xcos(x^2)dx

Depois disto, ao tentar fazer, cheguei no resultado: \frac{-1}{4}cotg(x^2)
Mas sei que está errado pois,
\frac{d[\frac{-1}{4}cotg(x^2)]}{dx} = \frac{1}{2}x cossec^2(x^2)

Alguém pode me ajudar?
Outra pergunta: Só pode jogar constantes para fora da integral?
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Re: [Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

Mensagempor young_jedi » Sáb Out 27, 2012 20:17

neste caso uma melhor substituição seria

u=x^2

du=2.x.dx

substituindo na integral

\int\frac{2x}{2}cos(x^2).dx

\int\frac{1}{2}cos(u).du

\frac{1}{2}\int cos(u).du

esta integral é mais tranquila

respondendo sua pergunta, voce so pode tirar da integral constantes, não pode tirar termos que dependam da variavel de integração neste caso x.
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Re: [Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

Mensagempor MrJuniorFerr » Sáb Out 27, 2012 21:49

Entendi Jedi.

Mas se a integral fosse:

\int x.cos^2(x^2)dx

Como resolve-lo?
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Re: [Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

Mensagempor young_jedi » Sáb Out 27, 2012 22:54

eu faria a mesma substituição, entãoa integral ficaria

\frac{1}{2}\int cos^2(u).du

mais note que

cos^2(u)=\frac{1+cos(2u)}{2}

então a intgral ficaria

\frac{1}{2}\int\frac{1+cos(2u)}{2}du

esta integral da para resolver por antiderivada
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Re: [Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

Mensagempor MrJuniorFerr » Sáb Out 27, 2012 23:33

young_jedi escreveu:mais note que

cos^2(u)=\frac{1+cos(2u)}{2}


identidade trigonométrica?
Em derivadas, era possível esquivar-se das identidades trigonométricas porque os exercícios pediam somente que derivassem e não necessariamente simplificar ao máximo.
Em integrais é obrigatório simplificar ao máximo?
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Re: [Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 00:26

Lembre-se das identidades \sin^2 x + \cos^2 x = 1 e \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x. Some as duas e isole \cos^2 x que você obterá a identidade afirmada.

Sobre simplificações, elas valem para o geral: em princípio, após todas as contas que você fizer deve-se simplificar ao máximo a resposta. O caso é que muitas vezes em derivadas, principalmente nas mais simples, a resposta já sai simplificado, o que não necessariamente é verdade em integração.
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Re: [Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 01:25

Entendi, fiz o que você disse e cheguei em tal identidade. Eu não conhecia este método de somar identidades e isolar algum termo para obter uma nova identidade :-O
Tive um ensino fundamental e médio horrível, eu não estudava nem em véspera de provas, ou seja, entrei em uma universidade federal (por sorte) com uma base horrível em exatas, e to pagando o preço agora...
Ao menos abri meus olhos, talvez um pouco tarde, mas abri.
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)