[Integrais] Regra da cadeia para antidiferenciação

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 27, 2012 20:02

Estou com dúvida no seguinte exercício:

$f(x)=\int x.cos(x^2) dx$

Estou com uma certa dificuldade nas integrais trigonométricas neste conteúdo, o resto consigo fazer.

Tentei fazer este, mas não deu certo...
Eu havia feito a seguinte substituição:

u=cos(x^2)

$\frac{du}{dx}=-sen(x^2).2x$

Após montar a substituição, fiz isto:

$\int \frac{x}{-sen(x^2).2x}.\frac{-sen(x^2).2x}{x}xcos(x^2)dx$

Depois disto, ao tentar fazer, cheguei no resultado: $\frac{-1}{4}cotg(x^2)$
Mas sei que está errado pois,
$\frac{d[\frac{-1}{4}cotg(x^2)]}{dx} =$ $\frac{1}{2}x cossec^2(x^2)$

Alguém pode me ajudar?
Outra pergunta: Só pode jogar constantes para fora da integral?

por **young_jedi** » Sáb Out 27, 2012 20:17

neste caso uma melhor substituição seria

u=x^2

substituindo na integral

$\int\frac{2x}{2}cos(x^2).dx$

$\int\frac{1}{2}cos(u).du$

$\frac{1}{2}\int cos(u).du$

esta integral é mais tranquila

respondendo sua pergunta, voce so pode tirar da integral constantes, não pode tirar termos que dependam da variavel de integração neste caso x.

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 27, 2012 21:49

Entendi Jedi.

Mas se a integral fosse:

$\int x.cos^2(x^2)dx$

Como resolve-lo?

por **young_jedi** » Sáb Out 27, 2012 22:54

eu faria a mesma substituição, entãoa integral ficaria

$\frac{1}{2}\int cos^2(u).du$

mais note que

$cos^2(u)=\frac{1+cos(2u)}{2}$

então a intgral ficaria

$\frac{1}{2}\int\frac{1+cos(2u)}{2}du$

esta integral da para resolver por antiderivada

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 27, 2012 23:33

young_jedi escreveu:mais note que

$cos^2(u)=\frac{1+cos(2u)}{2}$

identidade trigonométrica?
Em derivadas, era possível esquivar-se das identidades trigonométricas porque os exercícios pediam somente que derivassem e não necessariamente simplificar ao máximo.
Em integrais é obrigatório simplificar ao máximo?

por **MarceloFantini** » Dom Out 28, 2012 00:26

Lembre-se das identidades $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ e $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ . Some as duas e isole $\cos^2 x$ que você obterá a identidade afirmada.

Sobre simplificações, elas valem para o geral: em princípio, após todas as contas que você fizer deve-se simplificar ao máximo a resposta. O caso é que muitas vezes em derivadas, principalmente nas mais simples, a resposta já sai simplificado, o que não necessariamente é verdade em integração.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 28, 2012 01:25

Entendi, fiz o que você disse e cheguei em tal identidade. Eu não conhecia este método de somar identidades e isolar algum termo para obter uma nova identidade :-O

Tive um ensino fundamental e médio horrível, eu não estudava nem em véspera de provas, ou seja, entrei em uma universidade federal (por sorte) com uma base horrível em exatas, e to pagando o preço agora...
Ao menos abri meus olhos, talvez um pouco tarde, mas abri.