[Interseção de reta e plano] Dúvida exerc.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 14, 2012 17:50

Boa tarde a todos.

Estou com dúvida no seguinte exercício:

Obtenha a interseção da reta r com o plano $\pi$ .

reta r:
$x=-1+\lambda$
$y=-1-\lambda$
z=1

$\pi: x+y+z=-1$

Eu tentei resolver da seguinte forma:

Os valores de x, y, e z de r, eu os substituí na na equação $\pi$ , ficando:

$-1+\lambda-1-\lambda+1=-1$

Mas como podem ver, o $\lambda$ vai se cortar... e não vou conseguir descobrir seu valor desta forma.

Como eu poderia resolver este sistema?

por **MarceloFantini** » Dom Out 14, 2012 18:27

Isto provavelmente significa que a reta está contida no plano.

A igualdade será satisfeita para qualquer $\lambda \in \mathbb{R}$ , e vemos que o vetor normal ao plano, que é (1,1,1)

, é ortogonal ao vetor diretor da reta, que é (1,-1,0)

.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 14, 2012 18:53

MarceloFantini escreveu:Isto provavelmente significa que a reta está contida no plano.

A igualdade será satisfeita para qualquer $\lambda \in \mathbb{R}$ , e vemos que o vetor normal ao plano, que é , é ortogonal ao vetor diretor da reta, que é .

Se nesse caso, a reta está contida no plano, a interseção da reta e o plano é a própria reta?

por **MarceloFantini** » Dom Out 14, 2012 18:56

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 14, 2012 19:10

Marcelo, antes de você me responder, eu tinha conseguido resolver o sistema... só que não tenho certeza q está certo, olhe:

Eu somei todas as equações e obtive:

$x+y+z+x+y+z=-1+\lambda-1-\lambda+1-1$

e cheguei em:

2x+2y+2z=-2

como z=1,

$x=\frac{-4-2y}{2}$

x=-2-y

Sabendo disso, o ponto de interseção é:

I(-2-y,y,1)

Se você não me falasse, eu iria resolver dessa forma, e achar que a interseção dessa reta e o plano, seria um ponto...

por **MarceloFantini** » Dom Out 14, 2012 19:26

Sua resolução não faz sentido. A interseção de uma reta e um plano só pode ser uma de três possibilidades: nada, um ponto ou uma reta, que é o caso em que a reta está contida no plano.

Note que se você somasse apenas as equações da reta, perceberia que $x+y+z = (-1+ \lambda) + (-1 - \lambda) +1 = -1$ , que é justamente a equação do plano. A conclusão é que a reta está contida no plano.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 14, 2012 19:42

Por qual motivo a minha resolução não faz sentido? Não pode somar todas as equações como eu somei?
Se a professora colocasse um exercício desse tipo na prova, eu teria que avaliar então se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano para qualquer das três possibilidades que você citou?

por **MarceloFantini** » Dom Out 14, 2012 19:53

Não faz sentido porque você somou a mesma equação a ela. Note que o resultado que você chegou, que é 2x+2y+2z = -2

, é simplesmente um múltiplo da equação do plano original. Quando você substituiu z=1

, você fez a interseção do plano com o plano z=1

, que é paralelo ao plano

. Daí você encontrou a reta que é a interseção destes dois planos.

Em outras palavras, você resolveu um problema diferente do enunciado. Não tente fixar um método de resolução para tudo, é caminho certo para falhar.

Para começar, eu faria o mesmo que fez: substituir e ver o que encontra. Como não há erros na álgebra e você viu que é independente do parâmetro, deveria ter pensado um pouco e percebido que a reta estava contida no plano.

Se você chegasse numa impossibilidade, como -1=1

, então a reta não teria interseção com o plano.

Por último, se encontrasse um valor único para o parâmetro, como $\lambda =3$ , então a interseção seria um único ponto e você substituiria na equação da reta para encontrar este ponto.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 14, 2012 22:35

Entendi Marcelo, vou começar a prestar mais atenção nos detalhes. Aprendi com você que nada acontece por acaso, ou seja, para todo acontecimento há uma causa. Obrigado.

Na resolução deste exercício, posso explicar a minha conclusão da reta estar contida no plano a partir do parâmetro $\lambda$ se cortar na substituição?