Matrizes

por **anneliesero** » Sex Out 12, 2012 15:46

Olá, pessoal podem me ajudar nesse exercício?

03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = AT e é dita anti-simétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:

(01) A + AT é uma matriz simétrica

(02) A - AT é uma matriz anti-simétrica

RESOLUÇÃO:
(01) verdadeira

(02) verdadeira

Poderiam exemplificar com números?
Obrigada.

por **MarceloFantini** » Sex Out 12, 2012 20:28

Você só precisa lembrar das propriedades que (A^t)^t = A

e que transposição é linear. Para mostrar que A + A^t

é simétrica, basta mostrar que (A + A^t)^t = A + A^t

, mas

(A +A^t)^t = A^t + (A^t)^t = A^t + A = A + A^t

. Use o mesmo procedimento para mostrar que A - A^t

é anti-simétrica.

por **anneliesero** » Dom Out 14, 2012 13:04

Então fica assim:

Mas, não tem outro jeito de fazer não?

por **MarceloFantini** » Dom Out 14, 2012 14:35

Você deve mostrar que A - A^t

é anti-simétrica, você não pode afirmar isso até que prove. Portanto suas duas primeiras linhas de resolução já garantem o anulamento da questão.

Além disso, você errou no final do desenvolvimento, observe:

(A-A^t)^t = A^t - (A^t)^t = A^t - A = - (A - A^t)

.

Agora sim ela atende a definição de anti-simétrica.

por **anneliesero** » Dom Out 14, 2012 17:39

Mas, como ficou entre parenteses e com sinal negativo? Se antes não estava.

(A-A^t)^t = A^t - (A^t)^t = A^t - A = - (A - A^t)

.

por **MarceloFantini** » Dom Out 14, 2012 18:16

Você tem que perceber que a-b = -(b-a)

. Apesar de serem matrizes, satisfazem as mesmas regras da soma de números: note que 2-1 = -(1-2)

.

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