[Equações Paramétricas] Dúvida em uma questão

por **Jhonata** » Sex Out 05, 2012 18:24

Bem, estou nas minhas primeiras semanas de aulas de álgebra linear e só agora fui enfrentar os livros. Bem, algumas coisas eu acho que tá dando pra levar, outras estou encontrando mais dificuldade, enfim, eu me deparei com um problema, consegui desenvolver algumas coisas mas não chego a resposta final.
Eis a questão:
Determine o ponto de interseção dos pares abaixo, caso exista, caso contrário, justifique:

a)dos planos 4x-2y+3z=2

e

;

Observando os dois planos, dá pra ver que preciso de um parâmetro pra equação do segundo. E só sei que é um plano porque o problema diz, como não confundir com uma reta, caso o problema não diga nada?

Prosseguindo... Eu dei um parâmetro pra segunda equação, da seguinte forma:

Colocando z = t, e substituindo de volta na equação anterior, obtive x = 1+ t e logo substitui essas informações na primeira equação(a do plano que foi dada) obtive:

$y = 1+\frac{7}{2}t$

Tá... E agora? Devo descobrir o valor de t pra depois descobrir o valor das variáveis x, y e z?

A resposta do problema é a seguinte: a interseção destes 2 planos é a reta {(1 , 1, 0) + t(1, 7/2, 1}| t pertence a R}.
Notei que há uma parcialidade do valor em y nessa reta... Mas o que faço para obter os outros valores que estão descritos nessa reta? Foi isso que não entendi, além das outras dúvidas citadas acima... Por favor, me ajudem. Obrigado desde já!

por **LuizAquino** » Sex Out 05, 2012 19:01

Jhonata escreveu:Determine o ponto de interseção dos pares abaixo, caso exista, caso contrário, justifique:

a)dos planos e ;

Jhonata escreveu:Observando os dois planos, dá pra ver que preciso de um parâmetro pra equação do segundo. E só sei que é um plano porque o problema diz, como não confundir com uma reta, caso o problema não diga nada?

Vai depender do contexto no qual o exercício foi proposto.

Por exemplo, se estamos falando de pontos no plano (ou seja, em $\mathbb{R}^2$ ), então a equação x - z = 1 representa uma reta no plano xOz (aqui O representa a origem do sistema).

Mas se estamos falando de pontos no espaço (ou seja, em $\mathbb{R}^3$ ), então a equação x - z = 1 representa um plano.

Jhonata escreveu:Prosseguindo... Eu dei um parâmetro pra segunda equação, da seguinte forma:

Colocando z = t, e substituindo de volta na equação anterior, obtive x = 1+ t e logo substitui essas informações na primeira equação(a do plano que foi dada) obtive:

$y = 1+\frac{7}{2}t$

Tá... E agora? Devo descobrir o valor de t pra depois descobrir o valor das variáveis x, y e z?

A resposta do problema é a seguinte: a interseção destes 2 planos é a reta {(1 , 1, 0) + t(1, 7/2, 1}| t pertence a R}.
Notei que há uma parcialidade do valor em y nessa reta... Mas o que faço para obter os outros valores que estão descritos nessa reta? Foi isso que não entendi, além das outras dúvidas citadas acima...

Não precisa (e nem faria sentido) "descobrir o valor de t". A variável t representa justamente o parâmetro, que será um número real qualquer escolhido.

Apenas resumindo o que você fez até aqui, note que você poderia escrever:

$\begin{cases} x = 1 + t \\ \\ y = 1 + \dfrac{7}{2}t \\ \\ z = t \end{cases}$

Isso representa as equações paramétricas de uma reta.

Agora perceba que uma outra forma de escrever isso é justamente como está no gabarito: $\{(1 ,\, 1,\, 0) + t(1,\, 7/2,\, 1) \,|\, t \in \mathbb{R}\}$ .

Detalhe: esse exercício possui infinitas respostas, já que existem infinitas equações paramétricas que representam uma mesma reta. Caso você tivesse escolhido, por exemplo, começar fixando y = t, então você teria obtido outra resposta igualmente válida:

$\begin{cases} x = \dfrac{5}{7} + \dfrac{2}{7}t\\ \\ y = t \\ \\ z = -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7}t \end{cases}$

Essa resposta também poderia ser escrita como: $\{(5/7 ,\, 0,\, -2/7) + t(2/7,\, 1,\, 2/7) \,|\, t \in \mathbb{R}\}$ .

Observação

Eu gostaria de recomendar que você assista a videoaula "13. Geometria Analítica - Equações da Reta". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **Jhonata** » Sáb Out 06, 2012 13:22

LuizAquino escreveu:
Jhonata escreveu:Determine o ponto de interseção dos pares abaixo, caso exista, caso contrário, justifique:

a)dos planos e ;

Jhonata escreveu:Observando os dois planos, dá pra ver que preciso de um parâmetro pra equação do segundo. E só sei que é um plano porque o problema diz, como não confundir com uma reta, caso o problema não diga nada?

Vai depender do contexto no qual o exercício foi proposto.

Por exemplo, se estamos falando de pontos no plano (ou seja, em $\mathbb{R}^2$ ), então a equação x - z = 1 representa uma reta no plano xOz (aqui O representa a origem do sistema).

Mas se estamos falando de pontos no espaço (ou seja, em $\mathbb{R}^3$ ), então a equação x - z = 1 representa um plano.

Jhonata escreveu:Prosseguindo... Eu dei um parâmetro pra segunda equação, da seguinte forma:

Colocando z = t, e substituindo de volta na equação anterior, obtive x = 1+ t e logo substitui essas informações na primeira equação(a do plano que foi dada) obtive:

$y = 1+\frac{7}{2}t$

Tá... E agora? Devo descobrir o valor de t pra depois descobrir o valor das variáveis x, y e z?

A resposta do problema é a seguinte: a interseção destes 2 planos é a reta {(1 , 1, 0) + t(1, 7/2, 1}| t pertence a R}.
Notei que há uma parcialidade do valor em y nessa reta... Mas o que faço para obter os outros valores que estão descritos nessa reta? Foi isso que não entendi, além das outras dúvidas citadas acima...

Não precisa (e nem faria sentido) "descobrir o valor de t". A variável t representa justamente o parâmetro, que será um número real qualquer escolhido.

Apenas resumindo o que você fez até aqui, note que você poderia escrever:

$\begin{cases} x = 1 + t \\ \\ y = 1 + \dfrac{7}{2}t \\ \\ z = t \end{cases}$

Isso representa as equações paramétricas de uma reta.

Agora perceba que uma outra forma de escrever isso é justamente como está no gabarito: $\{(1 ,\, 1,\, 0) + t(1,\, 7/2,\, 1) \,|\, t \in \mathbb{R}\}$ .

Detalhe: esse exercício possui infinitas respostas, já que existem infinitas equações paramétricas que representam uma mesma reta. Caso você tivesse escolhido, por exemplo, começar fixando y = t, então você teria obtido outra resposta igualmente válida:

$\begin{cases} x = \dfrac{5}{7} + \dfrac{2}{7}t\\ \\ y = t \\ \\ z = -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7}t \end{cases}$

Essa resposta também poderia ser escrita como: $\{(5/7 ,\, 0,\, -2/7) + t(2/7,\, 1,\, 2/7) \,|\, t \in \mathbb{R}\}$ .

Observação

Eu gostaria de recomendar que você assista a videoaula "13. Geometria Analítica - Equações da Reta". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Entendi toda sua explicação, além do vídeo muito esclarecedor...
Eu tenho acompanhado seus videos desde que decidi mergulhar no mundo das exatas e eles tem me ajudado muito até aqui.
Não existem palavras para agradecer o seu grandioso trabalho Luiz, meus parabéns e muito, muito obrigado mesmo. Continue sendo esse excelente professor que é, mais principalmente, a perfeita pessoa que é.

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