Números complexos {dúvida}

por **Danilo** » Dom Ago 26, 2012 19:59

Determine Z pertencente ao conjunto dos números complexos tal que ${z}^{2}=i$ .

Uma das coisas que pensei foi fazer $z = \sqrt[]{i}$ mas não sei como aplicar a informação...

por **LuizAquino** » Dom Ago 26, 2012 21:37

Danilo escreveu:Determine Z pertencente ao conjunto dos números complexos tal que ${z}^{2}=i$ .

Uma das coisas que pensei foi fazer $z = \sqrt[]{i}$ mas não sei como aplicar a informação...

Eu recomendo que você estude o conteúdo "Radiciação de Números Complexos".

Considere um número complexo $u=|u|(\cos \theta + i\,\textrm{sen}\,\theta)$ . Se z é uma raiz n-ésima de u, isto é, z^n=u

, então temos que:

$z = \sqrt[n]{|u|}\left[\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) + i\,\textrm{sen}\,\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]$ , com k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Agora tente aplicar essa fórmula.

por **Danilo** » Qua Ago 29, 2012 10:28

LuizAquino escreveu:
Danilo escreveu:Determine Z pertencente ao conjunto dos números complexos tal que ${z}^{2}=i$ .

Uma das coisas que pensei foi fazer $z = \sqrt[]{i}$ mas não sei como aplicar a informação...

Eu recomendo que você estude o conteúdo "Radiciação de Números Complexos".

Considere um número complexo $u=|u|(\cos \theta + i\,\textrm{sen}\,\theta)$ . Se z é uma raiz n-ésima de u, isto é, , então temos que:

$z = \sqrt[n]{|u|}\left[\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) + i\,\textrm{sen}\,\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]$ , com k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Agora tente aplicar essa fórmula.

Beleza!

por **vmo_apora** » Sex Set 21, 2012 19:45

Será que está não seria uma solução interessante:

Seja $z=a+bi \Rightarrow {z}^{2}={a}^{2}+2abi-{b}^{2}$

Pelo enunciado ${a}^{2}-{b}^{2}+2abi=i$

Pela igualdade dos complexos:
${a}^{2}-{b}^{2}=0~~e~~2ab=1$

$2ab=1>0 \Rightarrow$ a~~e~~b

deve ter o mesmo sinal onde $a=b= \pm\frac{\sqrt[]{2}}{2}$ .

Então podemos ter $z=\frac{\sqrt[]{2}}{2}+\frac{\sqrt[]{2}}{2}i~~ou~~z=-\frac{\sqrt[]{2}}{2}-\frac{\sqrt[]{2}}{2}i$

por **MarceloFantini** » Sex Set 21, 2012 23:53

Perfeitamente válida, mas pode ser muito trabalhosa para um caso genérico. Resolver esse sistema pode gerar uma dor de cabeça grande, enquanto que pela notação de Euler tudo é resolvido de modo simples.