Potenciação [Simplificação]

por **leticy** » Sáb Ago 11, 2012 20:46

Pessoal, estou com uma dúvida, tentei resolver esse exercício varias vezes e não consigo chegar ao resultado.
Eu tenho a resposta, mas não chego. Segue.

Simplifique a expressão:

$A={5}^{x+3}-{5}^{x+1}/{5}^{x-2}$

Eu fiz alguns cálculos, o que consigo chegar é: $A={5}^{x+3}-{5}^{x+1}/{5}^{x-2}= {5}^{x}.125 - {5}^{x}.5/{5}^{x}.1/25$

Aqui não sei mais o que fazer, o que preciso fazer?

por **e8group** » Sáb Ago 11, 2012 21:20

Boa noite , sua expressão se resume a isto $A = 5^{x+3} -\frac{5^{x+1}}{5^{x-2}}$ ? Se a resposta for sim observe que ,

$A = 5^{x+3} -\frac{5^{x+1}}{5^{x-2}} = 5^{x+3} -5^{x+1 \ -\left[x-2\right]} = 5^{x+3} -5^{3} =5^3(5^x-1)=125(5^x-1).$

Propriedades :

i) $x^{a+b} = x^{a}\cdot x^{b}$

ii) $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ .

por **MarceloFantini** » Sáb Ago 11, 2012 22:25

Entretanto, se a expressão for

$A= \frac{5^{x+3} - 5^{x+1}}{5^{x-2}}$

então tudo será diferente. Qual delas?

por **leticy** » Dom Ago 12, 2012 09:01

Olá MarceloFantini, primeiramente, agradeço por sua atenção.
A expressão da pergunta é a segunda, aonde:

$\frac{{5}^{x+3}-{5}^{x+1}}{{5}^{x-2}}$

Me perdoe pelo equivoco, sou novata aqui.

por **MarceloFantini** » Dom Ago 12, 2012 09:38

Sem problemas. Note que $5^{x+3} = 5^x \cdot 5^3$ , $5^{x+1} = 5^x \cdot 5$ e $5^{x-2} = 5^x \cdot 5^{-2}$ . Daí,

$\frac{5^{x+3}-5^{x+1}}{5^{x-2}} = \frac{5^x \cdot 5^3 - 5^x \cdot 5}{5^x \cdot 5^{-2}}$ .

Ponha 5^x

em evidência e está tudo resolvido.

por **leticy** » Dom Ago 12, 2012 10:27

MarceloFantini, foi exatamente ai que parei, até ai eu fui normalmente pelas propriedades da potenciação, agora não entendi como colocar o ${5}^{x}$ em evidência. Posso fazer isso baseado em que? como posso fazer essa operação de colocar uma letra em evidência? Muito obrigada de novo pela sua atenção.

por **MarceloFantini** » Dom Ago 12, 2012 11:16

Não é uma letra, é um número. Temos uma função real $f: \mathbb{R} \to (0,+ \infty)$ , f(x) = 5^x

, que leva números reais em números positivos maiores que zero. Além disso, lembre-se que valem todas as regras algébricas usuais: distributiva, troca de ordem na multiplicação e soma, etc. Pode parecer estranho porque o expoente é variável, mas ele se comporta exatamente como um número porque ele é um número.

Em todo caso,

$\frac{5^x \cdot 5^3 - 5^x \cdot 5}{5^x \cdot 5^{-2}} = \frac{5^x(5^3 -5)}{5^x \cdot 5^{-2}} = (5^3 -5) \cdot 5^2 = 5^3 (25-1) = 24 \cdot 5^3.$

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