[Produto Interno] Álgebra Linear - Cap. 8 Boldrini

por **RenatoP** » Seg Jul 09, 2012 19:35

Exercício 12 - Capitulo 8 - Boldrini:

Seja P2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois.Considere a função:

$<f,g>=\int\limits_{-1}^1~f(t)g(t)dt$

Considere W o subespaço de P2 gerado pelos vetores p(t)=1

e

a) <f,g> é um produto interno?
b) Se a) for afirmativa, determine uma base ortogonal para W.

Não consigo resolver.. obrigado...

por **LuizAquino** » Ter Jul 10, 2012 12:43

RenatoP escreveu:Exercício 12 - Capitulo 8 - Boldrini:

Seja P2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Considere a função:

$\langle f,\, g \rangle=\int_{-1}^1 f(t)g(t)\, dt$

Considere W o subespaço de P2 gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1-t

a) <f,g> é um produto interno?
b) Se a) for afirmativa, determine uma base ortogonal para W.

RenatoP escreveu:Não consigo resolver.. obrigado...

Por favor, informe qual foi exatamente a sua dificuldade para que possamos lhe ajudar melhor.

Além disso, se você chegou a desenvolver alguma coisa, então poste aqui até onde conseguiu avançar.

por **RenatoP** » Ter Jul 10, 2012 17:03

LuizAquino escreveu:
Por favor, informe qual foi exatamente a sua dificuldade para que possamos lhe ajudar melhor.

Além disso, se você chegou a desenvolver alguma coisa, então poste aqui até onde conseguiu avançar.

Olá, não consegui desenvolver nada na verdade...
Não entendi, mesmo pq o boldrini não explica no livro, o que seriam essas duas funções na integral, e o que eu faço com as informações que ele passou.
Eu deveria desenvolver as funções como polinomios de segundo grau, p(t) = at² + bt + c ?

Ficou muito vaga a explicação no livro dele (e no Steinbruch tbm)...

por **LuizAquino** » Ter Jul 10, 2012 18:32

RenatoP escreveu:Olá, não consegui desenvolver nada na verdade...
Não entendi, mesmo pq o boldrini não explica no livro, o que seriam essas duas funções na integral, e o que eu faço com as informações que ele passou.
Eu deveria desenvolver as funções como polinomios de segundo grau, p(t) = at² + bt + c ?

Ficou muito vaga a explicação no livro dele (e no Steinbruch tbm)...

Vejamos a "tradução" de cada parte do enunciado do exercício.

RenatoP escreveu:Seja P2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois.

Ou seja, o espaço P2 é formado por funções do tipo f(t) = c, g(t) = bt + c ou h(t) = at² + bx + c.

RenatoP escreveu:Considere a função:

$\langle f,\, g \rangle=\int_{-1}^1 f(t)g(t)\, dt$

Temos uma função, representada por "<, >", que pega duas funções f e g no espaço P2 e associa com o valor de $\int_{-1}^1 f(t)g(t)\, dt$ .

Por exemplo, se f(t) = t + 1 e g(t) = t², então:

$\langle f,\,g\rangle = \int_{-1}^{1}f(t)g(t)\,dt = \int_{-1}^{1}(t+1)t^2\,dt = \int_{-1}^{1} t^3+ t^2\,dt = \frac{2}{3}$

RenatoP escreveu:Considere W o subespaço de P2 gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1-t

Como W é subespaço de P2, isso significa que W é um subconjunto de P2 com as seguintes propriedades:
(i) a função f(t) = 0 pertence a W;
(ii) se f(t) e g(t) pertencem a W, então f(t) + g(t) também pertence a W;
(iii) se f(t) pertence a W e k é um escalar qualquer, então kf(t) também pertence a W.

Além disso, como W é gerado por p(t) = 1 e q(t) = 1 - t, se f(t) pertence a W, então existem escalares a e b tais que f(t) = ap(t) + bq(t). Em outras palavras, todos os elementos de W podem ser escritos como uma combinação linear de p(t) e q(t).

RenatoP escreveu:a) <f, g> é um produto interno?

Para responder essa pergunta você precisa verificar as quatro propriedades que definem o produto interno:

(i) $\langle f,\,f\rangle \geq 0$ , para toda f em P2; $\langle f,\,f\rangle = 0$ se, e somente se, f = 0.
(ii) $\langle kf,\,g\rangle = k\langle f,\,g\rangle$ , para todo escalar k;
(iii) $\langle f+g,\,h\rangle = \langle f,\,h\rangle + \langle g,\,h\rangle$ ;
(iv) $\langle f,\,g\rangle = \langle g,\,f\rangle$ .

Eu vou verificar a primeira propriedade e você tenta as outras três.

Verificação da propriedade i)

Aplicando a definição da função <, >, temos que:

$\langle f,\,f\rangle = \int_{-1}^{1}f(t)f(t)\,dt = \int_{-1}^{1}[f(t)]^2\,dt$

Das propriedades de integral, sabemos que se $h(x) \geq 0$ , então $\int_a^b h(x) \,dx \geq 0$ .

Sendo assim, como $[f(t)]^2 \geq 0$ , temos que $\int_{-1}^{1}[f(t)]^2\,dt \geq 0$ .

Ou seja, concluímos que $\langle f,\,f\rangle \geq 0$ .

Suponha agora que $\langle f,\,f\rangle = 0$

Sabemos que o formato geral de uma função f em P2 é f(t) = at² + bt + c. Desse modo, temos que:

$\langle f,\,f\rangle = 0$

$\int_{-1}^{1}\left(at^2 + bt + c\right)^2\,dt = 0$

$\int_{-1}^{1} a^2t^4 + 2abt^3 + \left(b^2+2ac\right)t^2 + 2bct + c^2\,dt = 0$

$\left[\frac{a^2}{5}t^5 + \frac{ab}{2}t^4 + \frac{\left(b^2+2ac\right)}{3}t^3 + bct^2 + c^2t\right]_{-1}^{1} = 0$

$\frac{2}{5}a^2 + \frac{4}{3}ac + \frac{2}{3}b^2 + 2c^2 = 0$

Enxergando essa equação como uma equação polinomial do 2° grau na incógnita a, então temos que:

$\Delta = \left(\frac{4}{3}c\right)^2 - 4\cdot \frac{2}{5}\cdot \left(\frac{2}{3}b^2 + 2c^2\right)$

$\Delta = -\frac{16}{15}b^2 -\frac{64}{45}c^2$

Se b ou c fossem diferentes de 0, então teríamos b² > 0 ou c² > 0. Nesse caso, iria ocorrer $\Delta < 0$ e portanto não haveria solução real para a equação dada.

Por outro lado, se b = c = 0, então $\Delta = 0$ e a solução da equação seria a = 0.

Disso concluímos que a única solução é a = b = c = 0. Ou seja, temos que f(t) = 0.

Em resumo, verificamos que se $\langle f,\,f\rangle = 0$ , então temos f = 0

.

Vamos agora verificar o contrário. Suponha que f(t) = 0. Temos que:

$\langle f,\,f\rangle = \int_{-1}^{1}f(t)f(t)\,dt = \int_{-1}^{1}0\,dt = 0$

Ou seja, se f = 0

, então $\langle f,\,f\rangle = 0$ .

Unindo essas informações, podemos dizer que $\langle f,\,f\rangle = 0$ se, e somente se, f = 0.

Isso completa a verificação da propriedade i).

Agora basta você verificar as outras propriedades. A boa notícia é: as verificações serão bem menos trabalhosas do que a que fizemos para a propriedade i). Elas usarão apenas propriedades das integrais.

RenatoP escreveu:b) Se a) for afirmativa, determine uma base ortogonal para W.

Após verificar que as quatro propriedades anteriores são válidas, você poderá dizer que a afirmativa a) é verdadeira. Isto é, dizer que <f, g> é um produto interno.

Lembrando então que W é gerado por p(t) = 1 e q(t) = 1 - t, e notando que p(t) e q(t) são linearmente independentes, podemos dizer que {p, q} é uma base de W.

Entretanto, essa base não é ortogonal, pois se calcularmos <p, q> não obtemos 0. Apesar disso, podemos obter uma base ortogonal a partir dela. Para isso, basta aplicar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Tente aplicar esse processo para obter uma base ortogonal.

por **RenatoP** » Ter Jul 10, 2012 20:10

Ok.
Entendi tudo sobre a letra A.

Mas ainda estou em duvidas na letra b.

pois não consigo entender como p(t) = 1 e q(t) = 1 - t viram vetores para aplicar o metodo de ortogonalização...

por **LuizAquino** » Ter Jul 10, 2012 21:13

RenatoP escreveu:Ok.
Entendi tudo sobre a letra A.

Mas ainda estou em duvidas na letra b.

pois não consigo entender como p(t) = 1 e q(t) = 1 - t viram vetores para aplicar o metodo de ortogonalização...

Você apenas precisa aplicar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt usando o produto interno definido no exercício.

Utilizando o processo, você já sabe que:

f_1(t) = p(t) = 1

$f_2(t) = q(t) - \,\textrm{proj}_{f_1(t)} \,q(t) = q(t) - \frac{\langle q(t),\, f_1(t)\rangle}{\langle f_1(t),\,f_1(t) \rangle}f_1(t) = (1 - t) - \frac{\langle 1 - t,\, 1\rangle}{\langle 1,\,1 \rangle}\cdot 1$

Agora use o produto interno definido no exercício para calcular $\langle 1 - t,\, 1\rangle$ e $\langle 1 ,\, 1 \rangle$ .

No final do processo, uma base ortogonal para W será dada por $\{f_1(t),\, f_2(t)\}$ .

por **RenatoP** » Ter Jul 10, 2012 21:24

LuizAquino escreveu:
RenatoP escreveu:Ok.
Entendi tudo sobre a letra A.

Mas ainda estou em duvidas na letra b.

pois não consigo entender como p(t) = 1 e q(t) = 1 - t viram vetores para aplicar o metodo de ortogonalização...

Você apenas precisa aplicar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt usando o produto interno definido no exercício.

Utilizando o processo, você já sabe que:

$f_2(t) = q(t) - \,\textrm{proj}_{f_1(t)} \,q(t) = q(t) - \frac{\langle q(t),\, f_1(t)\rangle}{\langle f_1(t),\,f_1(t) \rangle}f_1(t) = (1 - t) - \frac{\langle 1 - t,\, 1\rangle}{\langle 1,\,1 \rangle}\cdot 1$

Agora use o produto interno definido no exercício para calcular $\langle 1 - t,\, 1\rangle$ e $\langle 1 ,\, 1 \rangle$ .

No final do processo, uma base ortogonal para W será dada por $\{f_1(t),\, f_2(t)\}$ .

Ahhhh
nossa.. mil desculpas.. eu estava viajando completamente aqui haha

eu achei o $f_2(t)\}$ mas estava esquecendo de que a base era $\{f_1(t),\, f_2(t)\}$ e acabava vendo apenas uma parte dela hahah

Muito obrigado!

por **fabriel** » Qua Nov 13, 2013 13:27

""""""""""""""""Vamos agora verificar o contrário. Suponha que f(t) = 0. Temos que:

$\langle f,\,f\rangle = \int_{-1}^{1}f(t)f(t)\,dt = \int_{-1}^{1}0\,dt = 0$

Ou seja, se f = 0

, então $\langle f,\,f\rangle = 0$ .

Unindo essas informações, podemos dizer que $\langle f,\,f\rangle = 0$ se, e somente se, f = 0.

Isso completa a verificação da propriedade i)."""""""""""""""""""""""""

LuizAquino eu não poderia afirmar que, no caso ali da integral, sua primitiva fosse uma constante C, e não necessariamente 0?

por **LuizAquino** » Qua Nov 13, 2013 17:27

fabriel escreveu:""""""""""""""""Vamos agora verificar o contrário. Suponha que f(t) = 0. Temos que:

$\langle f,\,f\rangle = \int_{-1}^{1}f(t)f(t)\,dt = \int_{-1}^{1}0\,dt = 0$

Ou seja, se , então $\langle f,\,f\rangle = 0$ .

Unindo essas informações, podemos dizer que $\langle f,\,f\rangle = 0$ se, e somente se, f = 0.

Isso completa a verificação da propriedade i)."""""""""""""""""""""""""

LuizAquino eu não poderia afirmar que, no caso ali da integral, sua primitiva fosse uma constante C, e não necessariamente 0?

Note que temos uma integral definida:

$\int_{-1}^{1} 0\,dt$

Se tivéssemos uma integral indefinida, aí sim teríamos o que você disse:

$\int 0\,dt = c$

Note que se g(t) = 0, temos que G(t) = c é uma primitiva de g (já que G'(t) = g(t)). Desse modo, ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, ficamos com:

$\int_{-1}^{1} g(t)\,dt = G(1) - G(-1) \iff \int_{-1}^{1} 0\,dt = c - c \iff \int_{-1}^{1} 0\,dt = 0$

por **fabriel** » Qua Nov 13, 2013 17:52

hummm. Mas como agente generalizaria então?

Por exemplo, temos que:

$<f,g> = \int_{a}^{b}f(t)g(t) dt.$

É um produto interno, eu consegui provar através das 4 propriedades, exceto a da $<f,f> \geq 0$ .

Como ficaria nesse caso a verificação dessa propriedade, quando generalizamos?

Obrigado Luiz

por **LuizAquino** » Qua Nov 13, 2013 18:27

fabriel escreveu:hummm. Mas como agente generalizaria então?

Por exemplo, temos que:

$<f,g> = \int_{a}^{b}f(t)g(t) dt.$

É um produto interno, eu consegui provar através das 4 propriedades, exceto a da $<f,f> \geq 0$ .

Como ficaria nesse caso a verificação dessa propriedade, quando generalizamos?

Obrigado Luiz

Você está fazendo confusão. Note que a propriedade (i) não afirma que $\langle f,\, g\rangle \geq 0$ . O que ela afirma é que $\langle f,\, f\rangle \geq 0$ . Ou seja, não há uma "generalização" como você está tentando dizer.

Note que nem sempre vai acontecer $\langle f,\, g\rangle \geq 0$ . É por isso que ela não entra como propriedade na definição do produto interno. Por exemplo, considere f(t) = 1 e g(t) = t - 1. Faça os cálculos para verificar que nesse caso temos $\langle f,\,g\rangle < 0$ .