equação geral da reta atraves de determinante

por **Christianobelli** » Qua Mai 28, 2008 09:31

Acho que todos sabem que podemos conseguir a equação geral da reta através de um determinante, se soubermos dois pontos da reta. Do seguinte modo:
para os pontos A(1,0) e B(0,1)
|x y 1|
|1 0 1|
|0 1 1|
ou seja, temos que colocar x e y e mais os dois pontos no determinante, completando a última coluna com 1.

Minha pergunta: Porque completar essa coluna com 1?

Aguardo resposta urgente, desde ja agradeço.

por **admin** » Qua Mai 28, 2008 19:03

Olá Christianobelli, seja bem-vindo!

Ainda é necessário dizer que este determinante deve ser nulo para encontrarmos a equação geral da reta:

$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$

Então, além da importância da sua pergunta, também valeria o comentário sobre o "zero".

Há um conjunto de argumentos que justificam esta coluna com 1.
Vamos caminhar por eles e após este percurso, sua pergunta estará respondida.

O primeiro passo é retornar um pouco no conceito da condição para alinhamento de três pontos.
De fato, sua pergunta surge nesta condição, pois a obtenção da equação da reta é nada mais do que a utilização deste teorema:

Três pontos A(x_1,y_1)

,

e

, são colineares se, e somente se:

$D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$

Perceba que na obtenção da equação geral da reta, B e C são pontos distintos do plano cartesiano, de modo que x_2, y_2, x_3, y_3

são números reais (constantes) conhecidos. E se o ponto A(x_1, y_1)

percorre a reta, então x_1

e

são variáveis.
Esta condição de colinearidade entre os três pontos, é que nos permite obter a equação geral da reta daquela forma.

Então, agora podemos discutir sobre a coluna completada com 1, refletindo sobre a condição para alinhamento de três pontos.
Para isso, vamos procurar "descobrir" quais deveriam ser os números $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ :

$D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & \alpha} \\ x_2 & y_2 & \beta \\ x_3 & y_2 & \gamma \\ \end{vmatrix} = 0$

Devemos nos perguntar: quais as formas possíveis do alinhamento entre três pontos distintos, em relação aos eixos?

Há três possibilidades, em uma delas os A, B e C possuem a mesma ordenada, ou seja, estão alinhados horizontalmente, de modo que: y_1 = y_2 = y_3:

Lembrando de outra propriedade que também pode ser demonstrada é que se uma matriz M, de ordem $n \geq 2$ , tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

Neste caso atual que estamos analisando, procuramos $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ que sejam respectivamente proporcionais a y_1

,

e

, mas

, com $k \in \Re$ , o que implica em $\alpha = \beta = \gamma = 1$ como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
A nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 2ª e 3ª colunas.

Em outra possibilidade, A, B e C possuem a mesma abscissa, ou seja, estão alinhados verticalmente, de modo que: x_1 = x_2 = x_3

:

Analogamente, neste caso, procuramos $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ que sejam respectivamente proporcionais a x_1

,

e

, mas

, com $k \in \Re$ , também implicando em $\alpha = \beta = \gamma = 1$ como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
Aqui, a nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 1ª e 3ª colunas.

A terceira possibilidade para o alinhamento dos pontos ocorre quando a reta que os contém, não é paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y:

Pela semelhança dos triângulos ABD e BCE, temos a seguinte proporção:
$\frac{AD}{BE}=\frac{DB}{EC}$

E utilizando as coordenadas:
$\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

$(x_2-x_1)\cdot(y_3-y_2)=(x_3-x_2)\cdot(y_2-y_1)$

$(x_2-x_1)\cdot(y_3-y_2) - (x_3-x_2)\cdot(y_2-y_1) = 0$

Fazendo a distributiva:
x_2y_3 - x_2y_2 - x_1y_3 + x_1y_2 - (x_3y_2 - x_3y_1 - x_2y_2 + x_2y_1) = 0

x_2y_3 - x_2y_2 - x_1y_3 + x_1y_2 - (x_3y_2 - x_3y_1 - x_2y_2 + x_2y_1) = 0

$x_2y_3 - \cancel{x_2y_2} - x_1y_3 + x_1y_2 - x_3y_2 + x_3y_1 + \cancel{x_2y_2} - x_2y_1 = 0$

$x_2y_3 - x_1y_3 + x_1y_2 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_2y_1 = 0 \;\;\;\;\; (I)$

E comparando com o determinante, para obtermos $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ :

$D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & \alpha} \\ x_2 & y_2 & \beta \\ x_3 & y_2 & \gamma \\ \end{vmatrix} = x_1y_2\gamma + y_1\beta x_3 + \alpha x_2x_3 - \alpha y_2x_3 - x_1\beta y_3 - y_1x_2\gamma$

Para que D=0

e reordenando as parcelas:

$\alpha x_2x_3 - x_1\beta y_3 + x_1y_2\gamma - \alpha y_2x_3 + y_1\beta x_3 - y_1x_2\gamma = 0 \;\;\;\;\; (II)$

(I)

e

$\Rightarrow$ $\alpha = \beta = \gamma = 1$ .

Vale ressaltar que consideramos pontos A, B e C distintos.
Caso dois dos pontos sejam coincidentes, a matriz terá um par de linhas iguais, e, analogamente, a nulidade do determinante resultará que $\alpha = \beta = \gamma = 1$ , da mesma forma.

Também cabe uma demonstração para a recíproca (volta $\Leftarrow$ ) do teorema que é verdadeira, ou seja, se D = 0

, A, B e C são colineares.

Veja que além de termos provado o teorema (ida $\Rightarrow$ ) de que três pontos A(x_1,y_1)

,

e

, são colineares se, e somente se:

$D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$

Fizemos o questionamento sobre $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ , supondo desconhecer que a 3º coluna possui os termos iguas a 1:

$D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & \alpha \\ x_2 & y_2 & \beta \\ x_3 & y_2 & \gamma \\ \end{vmatrix} = 0$

E verificamos que para que as condições da colinearidade sejam atendidas, em todos os casos possíveis, necessariamente, $\alpha = \beta = \gamma = 1$ .

Por fim, retornando ao caso da obtenção da equação geral da reta, conforme comentado, o que ocorre é uma utilização direta deste teorema, considerando que os dois pontos conhecidos (x_1, y_1)

e

pentencem à reta.
Consideramos um ponto genérico (x,y)

que percorre toda a reta e estabelecemos a condição de colinearidade do teorema aos outros dois conhecidos, ficando:

$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$

O desenvolvimento deste determinante resultará na equação geral da reta:

$\underbrace{(y_1-y_2)}_a\cdot x + \underbrace{(x_2-x_1)}_b\cdot y + \underbrace{(x_1y_2-x_2y_1)}_c = 0$

Christianobelli, devo comentar que muitas vezes as perguntas mais simples não possuem respostas tão diretas.
De qualquer forma, espero ter ajudado!