Calculo I

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 08, 2012 15:33

Ola Pessoal, teriam como me ajudar na resolucao deste problema Por Favor?

Os Pontos A e B sao opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 4 Km de largura . O ponto C esta na mesma margem que B , mas a 5 Km , rio abaixo de B. Uma companhia telefonica deseja estender um cabo de A ao ponto P na margem oposta do rio e entao seguir reto ao longo da margem ate o ponto C.Se o Custo por Km do cabo eh de 30% mais caro sob a agua do que em terra, que linha de cabo seria mais barato para a companhia e qual o seu custo????

Determine:
a) O modelamento matematico do problema. (Funcao)

por **LuizAquino** » Ter Mai 08, 2012 17:32

Thiago Ramos escreveu:Os Pontos A e B sao opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 4 Km de largura . O ponto C esta na mesma margem que B , mas a 5 Km , rio abaixo de B. Uma companhia telefonica deseja estender um cabo de A ao ponto P na margem oposta do rio e entao seguir reto ao longo da margem ate o ponto C.Se o Custo por Km do cabo eh de 30% mais caro sob a agua do que em terra, que linha de cabo seria mais barato para a companhia e qual o seu custo????

Determine:
a) O modelamento matematico do problema. (Funcao)

Thiago Ramos escreveu:Ola Pessoal, teriam como me ajudar na resolucao deste problema Por Favor?

A figura abaixo ilustra o exercício. Tente resolvê-lo a partir disso. Caso você não consiga terminar, então envie até onde você conseguiu chegar.

: figura.png (3.21 KiB) Exibido 11301 vezes

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 08, 2012 17:36

Eu consegui montar o Grafico deste problema, o que nao estou conseguindo eh achar a funcao. Sei que eh uma funcao do 1grau

por **joaofonseca** » Ter Mai 08, 2012 18:52

Eu modelei da seguinte forma:

No triangulo [ABP] seja o angulo Â. Seja a amplitude do angulo Â em radianos, a variável x.

Sabemos o comprimento do cateto AB. queremos saber o comprimento do cateto BP em função de x.

$tan(x)=\frac{BP}{4} \Leftrightarrow BP= 4 \cdot tan(x)$

Seja o ponto P, o ponto de "ancoragem", quanto mair for o cateto BP, menor será o trajeto em terra. Logo o trajeto em terra é igual a 5-BP. Ou seja:

$5-4 \cdot tan(x)$

Falta agora o trajeto sob água. Na pratica será a hipotenusa do triangulo [ABP]. Um dos catetos tem comprimento fixo de 4, o outro esta definido em função de x pela expressão $4 \cdot tan(x)$ .
Assim a hipotenusa é igual a :

$\sqrt{4^2+4^2 \cdot tan^2(x)}$

Agora somando as duas partes, temos:

$f(x)=5-4 \cdot tan(x)+\sqrt{4^2+4^2 \cdot tan^2(x)}$

Quando x=0, tan(0)=0. Logo ficamos com $5+\sqrt{16} =5+4=9$ . Quando x=0,896 rad, $tan(0,896)\approx 1,25$ . Por isso temos $5-4 \cdot 1,25+\sqrt{16+4^2 \cdot 1,25^2}\approx 6.40$

O gráfico fica com este aspeto:

: funca#1.jpg (10.48 KiB) Exibido 11293 vezes

Não percebi como determinar o custo?

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 08, 2012 19:38

Ola Joao, Obrigado por me ajudar na resolucao da Funcao!.....
Entao quer dizer que Imagem das variaveis envolviodas eh 10?
E para Dominio????

por **LuizAquino** » Ter Mai 08, 2012 20:14

joaofonseca escreveu:Eu modelei da seguinte forma:

No triangulo [ABP] seja o angulo Â. Seja a amplitude do angulo Â em radianos, a variável x.

Sabemos o comprimento do cateto AB. queremos saber o comprimento do cateto BP em função de x.

$tan(x)=\frac{BP}{4} \Leftrightarrow BP= 4 \cdot tan(x)$

Seja o ponto P, o ponto de "ancoragem", quanto mair for o cateto BP, menor será o trajeto em terra. Logo o trajeto em terra é igual a 5-BP. Ou seja:

$5-4 \cdot tan(x)$

Falta agora o trajeto sob água. Na pratica será a hipotenusa do triangulo [ABP]. Um dos catetos tem comprimento fixo de 4, o outro esta definido em função de x pela expressão $4 \cdot tan(x)$ .
Assim a hipotenusa é igual a :

$\sqrt{4^2+4^2 \cdot tan^2(x)}$

Agora somando as duas partes, temos:

$f(x)=5-4 \cdot tan(x)+\sqrt{4^2+4^2 \cdot tan^2(x)}$

Há uma forma mais direta. Como você já percebeu, ABP é um triângulo retângulo. Sendo BP = x, temos que o comprimento l do cabo será:

$l = 5 - x + \sqrt{16 + x^2}$

joaofonseca escreveu:Não percebi como determinar o custo?

Suponha que r seja o custo por km pela terra. Teremos que o custo por km pela água será 1,3r (ou seja, 130%r). Desse modo, a função custo será:

$c(x) = r(5-x) + 1,3r\sqrt{16 + x^2}$

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 08, 2012 20:30

Nao entendi porque deu 1,30 %r! Como vc chegou a isso?

por **LuizAquino** » Ter Mai 08, 2012 20:46

Thiago Ramos escreveu:Nao entendi porque deu 1,30 %r! Como vc chegou a isso?

Em primeiro lugar, eu não escrevi que era 1,30%r. Eu escrevi que é 1,3r. Ou ainda, que é 130%r.

E em segundo lugar, leia com atenção o enunciado do exercício: "(...) Se o custo por km do cabo é de 30% mais caro sob a água do que em terra (...)"

Agora responda: o que significa dizer que algo é 30% mais caro do que outra coisa?

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 08, 2012 20:49

Muito Obrigado. Consegui compreender bem sua explicacao!

por **Thiago Ramos** » Dom Mai 13, 2012 00:32

Ola Luiz, Nao consegui compreender porque ficou 10 para Y no Grafico que vc mostrou.
E tambem qual e a solucao aproximada analisando o grafico???

por **LuizAquino** » Dom Mai 13, 2012 23:54

Thiago Ramos escreveu:Ola Luiz, Nao consegui compreender porque ficou 10 para Y no Grafico que vc mostrou.
E tambem qual e a solucao aproximada analisando o grafico???

Até o momento eu não mostrei gráfico algum. Note que quem enviou o gráfico anteriormente foi o participante joaofonseca.

Considerando a função custo dada por $c(x) = r(5-x) + 1,3r\sqrt{16 + x^2}$ , o seu gráfico está ilustrado na figura abaixo.

: figura.png (11.64 KiB) Exibido 11219 vezes

Agora você mesmo pode analisar o gráfico para determinar aproximadamente para que valor de x temos um mínimo para a função. Basta observar qual seria o ponto "mais baixo" do gráfico.

por **Thiago Ramos** » Seg Mai 14, 2012 00:32

Teve mostrado antes o grafico do modelo do problema. Bem acima como voce pode ver. O grafico da funcao, mas nao o grafico da funcao custo como vc teve mostrado agora.

por **LuizAquino** » Seg Mai 14, 2012 00:48

Thiago Ramos escreveu:Teve mostrado antes o grafico do modelo do problema. Bem acima como voce pode ver. O grafico da funcao, mas nao o grafico da funcao custo como vc teve mostrado agora.

A imagem que enviei para ilustrar o exercício tipicamente não é chamada de "gráfico". Ela é chamada, por exemplo, de "figura" ou "ilustração".

Quando falamos em gráfico, tipicamente estamos nos referindo ao gráfico da função.

por **Thiago Ramos** » Seg Mai 14, 2012 00:53

Compreendi! Entao isso que eu precisava mesmo. O grafico da Funcao. porque tentei fazer ,mas nao estou conseguindo fazer bem

por **Thiago Ramos** » Seg Mai 14, 2012 00:54

O grafico do modelo da problema(Funcao) e os dominios e imagem das variaveis. Gostaria de confirmar isso!

por **LuizAquino** » Seg Mai 14, 2012 00:57

Thiago Ramos escreveu:O grafico do modelo da problema(Funcao) e os dominios e imagem das variaveis. Gostaria de confirmar isso!

Podemos fazer melhor. Diga o domínio e a imagem que você encontrou e nós corrigiremos.

Lembre-se da Regra 1 deste fórum: informar suas tentativas e dificuldades.

por **Thiago Ramos** » Seg Mai 14, 2012 01:01

Entao de acordo com o problema , o dominio que encontreu foi: x pertence aos n. reais tal que x eh maior ou igual a o e menor ou igual a 1,25.
E y pertence aos n. reais tb tal que y eh menor ou igual a 9 e maior ou igual a 6,40

por **LuizAquino** » Seg Mai 14, 2012 10:31

Thiago Ramos escreveu:Entao de acordo com o problema , o dominio que encontreu foi: x pertence aos n. reais tal que x eh maior ou igual a o e menor ou igual a 1,25.
E y pertence aos n. reais tb tal que y eh menor ou igual a 9 e maior ou igual a 6,40

Está errado.

Considerando a ilustração do problema, temos que o domínio da função $c(x) = r(5-x) + 1,3r\sqrt{16 + x^2}$ é dado por $D = \{x\in\mathbb{R} \,\mid\, 0\leq x \leq 5\}$ .

Para determinar a imagem dessa função, você precisa determinar o ponto de mínimo e o ponto de máximo no intervalo [0, 5].

Tente continuar a partir daí.

por **Nrdm** » Ter Mai 15, 2012 17:39

Olá, boa tarde... que mal pergunte, estou acompanhando a resolução deste exercicio, mas minha dúvida permanece, não entendo como encontrar a imagem nesse grafico, pois mesmo que atribua valores ao x na hora de montar não consigo pois no gráfico do custo existem duas icognitas.
Desculpe a ignorancia... estou tentando aprender.

por **LuizAquino** » Ter Mai 15, 2012 19:29

Nrdm escreveu:Olá, boa tarde... que mal pergunte, estou acompanhando a resolução deste exercicio, mas minha dúvida permanece, não entendo como encontrar a imagem nesse grafico, pois mesmo que atribua valores ao x na hora de montar não consigo pois no gráfico do custo existem duas icognitas.
Desculpe a ignorancia... estou tentando aprender.

Vamos imaginar que você tenha que construir o gráfico da função f(x)=ax^2 + bx + c

.

Você não conhece os coeficientes a, b e c, mas mesmo assim pode dizer que o formato básico desse gráfico será uma parábola (desde que $a\neq 0$ ).

Você pode dizer isso, pois já fez um estudo a priori sobre funções desse tipo.

Por outro lado, você não estudou funções do tipo que aparece nesse exercício. Entretanto, no caso do exercício temos que

$c(x) = r(5-x) + 1,3r\sqrt{16 + x^2} \implies c(x) = r\left[(5-x) + 1,3\sqrt{16 + x^2}\right]$

Sendo assim, se construirmos o gráfico da função $f(x) = (5-x) + 1,3\sqrt{16 + x^2}$ teremos uma versão básica do gráfico de c, já que c(x) = rf(x).

Depois de conhecer essa versão básica, podemos imaginar como seria o gráfico no seu formato geral.

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 15, 2012 20:03

Oi Luiz.
Estou um pouco confuso.
Entao quer dizer que para y a imagem sera de 0 a 4?
E quanto ao grafico? Qual eh o grafico da funcao que reprrensentao modelo matematico do problema???

por **LuizAquino** » Ter Mai 15, 2012 20:20

Thiago Ramos escreveu:Estou um pouco confuso.
Entao quer dizer que para y a imagem sera de 0 a 4?

Não.

Para determinar a imagem da função, como eu já disse anteriormente, você precisa determinar o ponto de mínimo e o ponto de máximo no intervalo [0, 5].

Você já estudou sobre o uso de derivadas para calcular o máximo e o mínimo de funções?

Thiago Ramos escreveu:E quanto ao grafico? Qual eh o grafico da funcao que reprrensentao modelo matematico do problema???

Eu já enviei o gráfico em uma mensagem anterior. Você só precisa restringi-lo ao domínio [0, 5], pois na figura apresentada o domínio considerado seria $\mathbb{R}$ .

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 15, 2012 20:29

Nao estudei ponto de minimo e maximo de derivada ainda:(
Entaoo quer dizer que a funcao do do problema eh: F(x) = r(5-x) + 1,3r (raiz)16 + x ao quadrado???
E que a Imagem da Funcao jogando no grafico sera de 0 ate 9?

por **Thiago Ramos** » Ter Mai 15, 2012 20:31

vc poderia me reenviar o grafico novamente?

por **LuizAquino** » Ter Mai 15, 2012 21:08

Thiago Ramos escreveu:Nao estudei ponto de minimo e maximo de derivada ainda:(

Ok.

Thiago Ramos escreveu:Entaoo quer dizer que a funcao do do problema eh: F(x) = r(5-x) + 1,3r (raiz)16 + x ao quadrado???

Sim, como eu já escrevi anteriormente.

Thiago Ramos escreveu:E que a Imagem da Funcao jogando no grafico sera de 0 ate 9?

De modo geral, não seria isso. A imagem vai mudar conforme seja alterado o valor de r.

Entretanto, como você ainda não estudou a determinação de máximos e mínimos através de derivadas, eu presumo que o exercício deve ser feito pensando em um caso particular. Além disso, que a imagem deve ser determinada de uma forma aproximada, através da análise do gráfico.

Nesse contexto, suponha que r = 1. Temos então a função $c(x) = 5-x + 1,3\sqrt{16+x^2}$ . Agora basta você analisar o gráfico dessa função.

Uma dica: lembre-se que você pode construir esse gráfico usando um programa, como por exemplo o GeoGebra.

Thiago Ramos escreveu:vc poderia me reenviar o grafico novamente?

Por que enviar novamente? Note que ele já está disponível em uma mensagem acima!

por **Nrdm** » Qua Mai 16, 2012 01:18

ok. Agradeço a resposta.

Como também não aprendi maximos e minimos ainda, vou montar o gráfico através da função do custo, atribuindo valores ao x (que seriam de 0 á 5) e para o custo que na verdade pouco importa qual valor eu venha a atribuir, tanto faz (atribuirei 1) bom desta forma acho que entendi, e pela analise do gráfico saberei em qual distancia estará o menor custo. E pelo que pude perceber mas não sei, provavelmente estará no km 5. Ou seja é mais barato passar um cabo direto até o ponto C, que estende-lo metade pela água (ponto P) e + outra metade pela terra até o C.

por **LuizAquino** » Qui Mai 17, 2012 00:39

Nrdm escreveu:Como também não aprendi maximos e minimos ainda, vou montar o gráfico através da função do custo, atribuindo valores ao x (que seriam de 0 á 5) e para o custo que na verdade pouco importa qual valor eu venha a atribuir, tanto faz (atribuirei 1) bom desta forma acho que entendi, e pela analise do gráfico saberei em qual distancia estará o menor custo. E pelo que pude perceber mas não sei, provavelmente estará no km 5. Ou seja é mais barato passar um cabo direto até o ponto C, que estende-lo metade pela água (ponto P) e + outra metade pela terra até o C.

Não está em 5 Km. Está aproximadamente em 4,8 Km. Note que esse é o problema de resolver analisando simplesmente o gráfico: dependendo do tamanho dele você pode ser enganado. A forma mais "segura" de encontrar o mínimo é através das derivadas. Mas você ainda estudará isso.

por **Nrdm** » Qui Mai 17, 2012 09:11

Sim, fiz os calculos, montei o grafico e também cheguei nessa resposta!
Muito obrigada! Ajudou bastante

Calculo I

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