Cálculo - Parametrização

por **Feliperpr** » Ter Abr 24, 2012 21:14

Considere o cilindro C = {(x, y, z), x²+y² =2, 0 < z < 2}. Utilizando o teorema de Stokes calcule o ?uxo do campo de vetores F(x, y, z) = (x, y, ?2 z) através de C no sentido da normal exterior.

Se utilizarmos Stokes, obtemos que o rotacional dá zero. Logo a integral seria zero?
Se fizer pelo cálculo do fluxo, temos como parametrização $r(\Theta, z)= (\sqrt[2]{2} *cos \Theta, \sqrt[2]{2}sen\Theta, z)$

Necessitamos calcular dr/dz X dr/ do?
Está certo isso?

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 21:24

Com o teorema de Stokes se calcula o fluxo do rotacional de F, não de F. Ainda, o teorema de Stokes expõe uma forma alternativa de calcular trabalho de deslocamento sobre caminhos fechado.

por **Feliperpr** » Ter Abr 24, 2012 21:28

Mas então o enunciado está estranho, né?
Pq ele pede pra calcular o fluxo do campo e não do rotacional do campo! Por isso que tentei utilizar calculando diretamente!

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 21:30

É, ta incoerente com a teoria! Eu acredito que a melhor saída é usar o Teorema da Divergência de Gauss.

por **Feliperpr** » Ter Abr 24, 2012 21:34

Obrigado! Vou fazer aqui! E tem que abrir ainda..pq a superfície não é fechada! Mas obrigado!

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 21:38

Aí depende do problema. O enunciado não dá muita idéia se a superficie é fechada ou não. A meu entendemento, o cilindro é uma superfície fechada. Por isso eu sigeri o Teorema da Divergência. Mas se for só o fluxo através do tronco do cilindro calcula pela definição mesmo de fluxo. (;

por **Feliperpr** » Ter Abr 24, 2012 21:44

Eu acredito que a superfície seria fechada neste caso se z fosse maior e igual a 0 e menor e igual a 2.
Supondo que não seja fechada, a parametrização que escolhi está certa, né? E na hora de cálcular o produto vetorial é daquele jeito mesmo?
Pq geralmente sobram 2 parametros na parametrização somente! Só que o z só está ligado a terceira coordenada sem relação com as outras duas! =S

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 21:54

Feliperpr escreveu:Eu acredito que a superfície seria fechada neste caso se z fosse maior e igual a 0 e menor e igual a 2.
Supondo que não seja fechada, a parametrização que escolhi está certa, né? E na hora de cálcular o produto vetorial é daquele jeito mesmo?
Pq geralmente sobram 2 parametros na parametrização somente! Só que o z só está ligado a terceira coordenada sem relação com as outras duas! =S

Supondo a superfície aberta.

Você conhece o teorema a seguir?

$\iint_{S}^{}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}$ dS =$ $\iint_{R}^{} \overrightarrow{F}\cdot(\pm \overrightarrow{\bigtriangledown} \cdot G)dR$

por **Feliperpr** » Ter Abr 24, 2012 21:57

Que eu me lembre não vi nada nesse formato! :/

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 22:00

Comoo você calcularia então o fluxo através do cilindro aberto? Qual fórmula?

por **Feliperpr** » Ter Abr 24, 2012 22:04

Desculpa se eu estiver errado...mas tentaria calcular usando a primeira fórmula até antes do igual! Que é a formula geral do fluxo, não? =S

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 22:10

É maais dificil usando a definição! Se você utilizar aquele teorema que eu postei fica mais fácil. Ele consiste em calcular o fluxo através do cilindro aberto usando o fluxo através de uma "sombra" do mesmo, que é o plano R.