Dificuldade com limites e módulos

por **Luisags** » Qui Abr 12, 2012 23:05

Olá!
Boa noite a todos, gostaria de uma ajuda em um limite:
$\lim_{x->4}\frac{4-v}{|4-v|}$
tenho a resolução do problema, porém não consegui entender o porque de dar -1 o resultado. Não consigo concordar com o (-).
Obrigada!

por **LuizAquino** » Qui Abr 12, 2012 23:48

Luisags escreveu:Olá!
Boa noite a todos, gostaria de uma ajuda em um limite:
$\lim_{x->4}\frac{4-v}{|4-v|}$
tenho a resolução do problema, porém não consegui entender o porque de dar -1 o resultado. Não consigo concordar com o (-).

Pela definição de módulo, temos que:

$|4 - v| = \begin{cases}4 - v, \textrm{ se } 4 - v \geq 0 \\ -(4 - v), \textrm{ se } 4 - v < 0 \end{cases}$

Ou seja, temos que:

$|4 - v| = \begin{cases}4 - v, \textrm{ se } v \leq 4 \\ -(4 - v), \textrm{ se } v > 4 \end{cases}$

Calculando então esse limite, temos que:

$\lim_{v\to 4^-} \dfrac{4 - v}{|4 - v|} = \lim_{v\to 4^-} \dfrac{4 - v}{4 - v} = \lim_{v\to 4^-} 1 = 1$

$\lim_{v\to 4^+} \dfrac{4 - v}{|4 - v|} = \lim_{v\to 4^+} \dfrac{4 - v}{-(4 - v)} = \lim_{v\to 4^+} -1 = -1$

Como esses limites laterais são diferentes, temos que não existe o limite: $\lim_{v\to 4} \dfrac{4 - v}{|4 - v|}$ .

por **Luisags** » Sex Abr 13, 2012 00:51

Muito obrigada, LuizAquino!
Consegui entender o porque, agora.
Boa noite!

por **gabriel feron** » Seg Abr 16, 2012 03:55

Desculpa retornar o assunto, mas sou iniciante no calculo 1, to correndo atras, dai queria tirar uma duvida
se a questao nao estivesse com modulo:
$\lim_{4}(u - 4)/u-4$

o que aconteceria? o que mudaria em relacao a com modulo

muito obrigado e desculpe qualquer inconveniência(primeira vez que estou usando o forum).

por **LuizAquino** » Seg Abr 16, 2012 15:34

gabriel feron escreveu:se a questao nao estivesse com modulo:
$\lim_{4}(u - 4)/u-4$

o que aconteceria? o que mudaria em relacao a com modulo

O que você escreveu é equivalente a:

$\lim_{u\to 4} \dfrac{(u-4)}{u} - 4$

Mas o que você deseja é na verdade:

$\lim_{u\to 4} \dfrac{u - 4}{u - 4}$

Nesse caso, você deveria ter escrito algo como:

$\lim_{u\to 4} (u - 4)/(u - 4)$

Note a importância de colocar os parênteses.

Vamos agora analisar esse limite.

Suponha que você tenha um número real x (diferente de zero). Quanto vale x/x? Ora, isso vale 1.

No limite de seu exemplo, temos o número u - 4. Como u está se aproximando de 4, mas não é 4, temos que u - 4 é diferente de zero. Sendo assim, quanto vale (u - 4)/(u - 4) ? Ora, isso vale 1.

Temos então o seguinte:

$\lim_{u\to 4} \dfrac{u - 4}{u - 4} = \lim_{u\to 4} 1 = 1$

por **gabriel feron** » Ter Abr 17, 2012 03:17

Entendi, muito obrigado, na verdade eu sabia so que pela falta de atencao nao me liguei, to comecando o calculo agora ^^

obs: sobre o parentes eu achei que tinha corrigido, mas bom que agora ja aprendi a fazer limite pelo editor de formulas!

valeu!!!