Duas questões de complexos

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Duas questões de complexos

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Duas questões de complexos

Mensagempor Joseaugusto » Seg Abr 09, 2012 10:43

Olá amigos, travei com esses dois exercicios de complexos, e não encontro resolução na internet. Agradeceria a quem me indicar o caminho a ser seguido para resolve-los


(UFU) A soma das raizes distintas da equação z² + 2R(z) + 1 = 0, onde z é um numero complexo e R(z) denota a parte real de Z é igual a:
R: -1

(ITA) Sejam x e y numeros reais, com x =/= 0 (x diferente de zero), satisfazendo (x + iy)² = (x +y)i. Então:
R: x é raiz da equação x³ + 3x² + 2x - 6
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Re: Duas questões de complexos

Mensagempor fraol » Seg Abr 09, 2012 18:46

(1)

z^2 + 2Re(z) + 1 = 0

Seja z = a + bi, com Re(z) = a, então

z^2 + 2Re(z) + 1 = 0 \iff z^2 + 2a + 1 = 0 \iff z^2 = -(2a + 1)

Note que z^2 = a^2 - b^2 + 2abi = -(2a + 1) não possui parte imaginária donde concluímos que b = 0.

Assim

a^2 - b^2 + 2abi + 2a + 1 = 0 => a^2 + 2a + 1 = 0, de onde sai a = -1 ( raiz dupla ).

Portanto a soma das raízes distintas é igual a -1.

(2)

(x + iy)^2 = (x + y)i

x^2 - y^2 + 2xyi = (x + y)i , note que no segundo membro não temos parte real, então

x^2 - y^2 = 0 => x = y.

ou

2xyi = (x + y)i => 2xy = x + y \iff 2x^2 = 2x \iff

x = y = 0 ou x = y = 1.

Comox \ne 0 entãox = 1 (que é a raiz real do polinômio dado).

(Obs. o ideal é que se crie um tópico para cada questão no forum.)

.
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Re: Duas questões de complexos

Mensagempor Joseaugusto » Ter Abr 10, 2012 09:47

Sou implicado com complexos por causa disso, os exercícios são fáceis... depois que voce aprende como faze-los *-)

obrigado pela ajuda fraol, coloquei as duas questões em um unico post pra não encher demais o forum, na próxima eu faço certo.
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Re: Duas questões de complexos

Mensagempor fraol » Ter Abr 10, 2012 10:35

Há matemáticos que dizem que os complexos só o são no nome. Valeu.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?


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