limites trigonométricos

por **Arthur_Bulcao** » Qua Mar 28, 2012 19:19

Estou com problema ao calcular o limite:

$\lim_{x\rightarrow0}\;\frac{tgx-senx}{x^3}$

Não sei nem por onde começar.
Já estudei teorema dos confrontos.

Agradeço qualquer ajuda

por **fraol** » Qua Mar 28, 2012 22:38

Se você aplicar o limite diretamente chegará a $\frac{0}{0}$ que é um tipo de indeterminação.

Minha sugestão é você usar a Regra de L'Hopital. Essa regra diz que

$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

onde f' e g' são, respectivamente, as derivadas do numerador e do denominador (há algumas restrições de aplicação, mas não é o caso aqui já que as funções são deriváveis nas proximidades de x = 0).

Se você optar por usar L'Hopital, deverá aplicar a regra sucessivamente até sair dos vários $\frac{0}{0}$ que irão surgindo. Ao final, se tudo estiver ok você obterá $\frac{1}{2}$ como resposta.

No caso de não conhecer a regra sugiro que você pesquise a respeito e, também, assista a aula sobre esse assunto do nosso colega de forum, o professor LuizAquino, que está no endereço http://www.youtube.com/watch?v=-TNbOIad3Oc.

Agora, a título de curiosidade (minha :!:

), pois essa função é um tanto complexa, fiz um gráfico no Geogebra e parte dele está abaixo. Veja que o valor da função aproxima-se de $\frac{1}{2}$ para x aproximando-se de 0 por ambos os lados.

: funcao; func-tanx-senx-sobre-x3.png (9.61 KiB) Exibido 1734 vezes

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por **LuizAquino** » Qua Mar 28, 2012 23:31

Arthur_Bulcao escreveu:Estou com problema ao calcular o limite:
$\lim_{x\rightarrow0}\;\frac{tgx-senx}{x^3}$

fraol escreveu:Se você aplicar o limite diretamente chegará a $\frac{0}{0}$ que é um tipo de indeterminação.

Minha sugestão é você usar a Regra de L'Hopital. Essa regra diz que

$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Um caminho é usar a Regra de L'Hospital. Mas nesse caso não é necessário.

Aplicando a definição de tangente, temos que:

$\lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{tg}\,x- \,\textrm{sen}\, x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \dfrac{\frac{\textrm{sen}\,x}{\cos x} - \textrm{sen}\, x}{x^3}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\,x - \cos x \, \textrm{sen}\, x}{x^3\cos x}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x(1 - \cos x)}{x^3\cos x}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x\left(1 - \cos^2 x\right)}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x \, \textrm{sen}^2\, x}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}^3\, x}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \left(\lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x}{x}\right)^3 \left[\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)}\right]$

Agora fica fácil concluir o exercício.

fraol escreveu:No caso de não conhecer a regra sugiro que você pesquise a respeito e, também, assista a aula sobre esse assunto do nosso colega de forum, o professor LuizAquino, que está no endereço http://www.youtube.com/watch?v=-TNbOIad3Oc.

Obrigado por indicar a videoaula.

por **Arthur_Bulcao** » Qui Mar 29, 2012 19:13

Um caminho é usar a Regra de L'Hospital. Mas nesse caso não é necessário.

Aplicando a definição de tangente, temos que:

$\lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{tg}\,x- \,\textrm{sen}\, x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \dfrac{\frac{\textrm{sen}\,x}{\cos x} - \textrm{sen}\, x}{x^3}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\,x - \cos x \, \textrm{sen}\, x}{x^3\cos x}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x(1 - \cos x)}{x^3\cos x}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x\left(1 - \cos^2 x\right)}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x \, \textrm{sen}^2\, x}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}^3\, x}{x^3\cos x(1 + \cos x)}$

$= \left(\lim_{x\to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x}{x}\right)^3 \left[\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)}\right]$

Agora fica fácil concluir o exercício.

Puxa, obrigado.
Eu só não uso L'Hospital, porque o professor ainda não deu derivadas, e não aceitaria numa prova, por enquanto. :-D

por **LuizAquino** » Qui Mar 29, 2012 23:23

Arthur_Bulcao escreveu:Puxa, obrigado.
Eu só não uso L'Hospital, porque o professor ainda não deu derivadas, e não aceitaria numa prova, por enquanto.

A Regra de L'Hospital costuma deixar o estudante "preguiçoso". Ele acaba não aprendendo a efetuar simplificações algébricas, pois na Regra de L'Hospital basta aplicar algumas derivadas. Mas só que usualmente o conceito de derivadas só é estudado depois que já houve o estudo de limites! Em resumo: quando iniciamos o estudo de limites não podemos usar a Regra de L'Hospital. O ideal é deixar essa regra para calcular alguns limites específicos, que não possuem simplificação algébrica.