Localização de números racionais e irracionais na reta!

por **LuizCarlos** » Sex Mar 16, 2012 18:22

Olá amigos, estou com dificuldade em entender, e conseguir localizar números racionais e irracionais na reta numérica.

Entendo o que são números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

Mas na hora de localizar os números racionais e irracionais na reta numérica tenho dificuldade, tem uma questão no livro que não estou dando conta de fazer.

Desenhe uma reta e marque sobre ela um segmento de medida 10 cm. Chame as extremidades desse segmento de 0 e 1 e localize nesse segmento, aproximadamente, os pontos que representam:

a) Os números racionais:
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

b) Os números racionais:

0,333333.... 0,37373737....

c) O número irracional 0,35335333533335...
33) Desenhe uma reta e marque sobre ela um segmento de 20cm. Chame as extremidades desse segmento de 1 e 2 e localize (aproximadamente) nele os pontos que representam os números dos cartões:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

1,25 1,35 1,45 1,55 1,65 1,75

1,33333... 1,43333... 1,8333.... 1,12112111211112...

Que segmento é esse que ele pede para eu marcar na reta, como faço para marcar um segmento de 10 cm, e de 20cm.

Qual a maneira de entender para localizar os números racionais e irracionais na reta.

Tinha visto em outro livro que para marcar os números racionais, eu tinha que observar o denominador, no caso o denominador que diz em quantas partes o segmento deve ser dividido, observando o numerador, marcaria o ponto na reta, conforme o numerador.

Seria essa a forma, estou confuso.

Como faço para aproximar um número racional e irracional, tenho que ver o número a ser descartado, caso seja igual a 5, não preciso somar uma unidade ao numero que vai ficar, caso seja maior que 5, preciso somar a unidade ao número que vai ficar, seria dessa forma, tanto para racional, como para irracional.

Me deem exemplos para que eu entenda de forma definitiva, na escola os professores não tinham paciência para ensinar passo a passo, para pessoas com dificuldade como eu.

por **MarceloFantini** » Sex Mar 16, 2012 22:14

Você não precisa aproximar números racionais, eles já estão na sua forma exata pois sempre são a divisão de dois números inteiros, como $0,1 = \frac{1}{10}$ . Para marcar o segmento, basta pegar uma régua, colocar no papel e riscar 10cm, mesma coisa para o de 20cm.

Para perceber onde fica o número irracional, vá analisando casa decimal a casa decimal para perceber onde ele está. Com a primeira casa decimal temos que todos são 0,3

. Tomando agora a segunda casa decimal, fica 0,33

e

. O número irracional será 0,35

. Isto mostra que ele é maior que o primeiro e menor que o segundo. Matematicamente, expressamos isso como 0,33 < 0,35 < 0,37

. Daí, o ponto irracional ficará ENTRE os pontos racionais citados.

por **nietzsche** » Qua Mar 21, 2012 02:40

Luiz Carlos,
um número se chama racional quando ele pode ser escrito como uma fração. O nome racional é uma derivação de razão, isto é, a razão entre dois números. Razão é aquela idéia de uma sobre o outro. Por exemplo, se quiser escrever matematicamente a razão entre 2 e 3, nós escrevemos:
$\frac{2}{3}$
Então se você falar em fração, razão, um sobre o outro, etc... você já tem que pensar num número escrito em fração, por exemplo, $\frac{5}{4}$ .
Agora os número irracionais são aqueles que não podem ser escritos como a razão de dois números. Então se considerarmos novamente a razão entre 2 e 3, isto é, o número escrito como $\frac{2}{3}$ , nós já sabemos só de olhar pra ele que ele não é um número irracional.
Agora pense no número $\sqrt[]{2}$ , que é lido como raíz quadrada de dois. Digita ele em qualquer calculadora e aperta o símbolo =. A calculadora vai exibir quanto vale esse número.
Agora você deve lembra que a fração 2/3 é o mesmo que nós calcularmos 2 dividido por 3. Se você digitar isso na calculadora e apertar o = vai obter 0,66666666666.
Se você digitar 5/4 na calculadora e apertar o igual você obtém 1,25.
Se você digitar $\sqrt[]{2}$ na calculadora e aperta igual, você obtém 1,41421356 note que preencherá todas casas da calculadora.
A diferença entre a raiz quadrada de 2 e o 2/3 é que no 2/3 percebemos a ordem lógica dos números que vem depois da vírgula. Na realidade o 0,666666666666666666666666666 vai com 6666 um monte de vezes, mas a calculador não tem que parar. Ás vezes ela arredonda colocando um 7 na última casa.
Enfim, o número racional tem uma "ordem" nos seus dígitos quando está escrito na forma decimal. Forma decimal é o número com vírgula, como esse 1,25. Agora o irracional não tem como saber a ordem. Tem calculadoras que calculam até mil casas após a vírgula e o pior é que não se sabe o padrão dos números que se repete. O 0,66666 já se sabe que vira sempre um 6, mesmo que tenha infinitos 6 depois da vírgula. Agora os números irracionais, não tem como sabe. Você pode também pensar no irracional usado como adjetivo do português. É irracional porque não tem lógica, é meio louco, não tem como se saber o que vira.
Tendo uma noção do que é um número racional e um irracional e como ajuda de uma calculadora, você pode escrever esses números numa reta. Você escreve aproximadamente. Por exemplo, vou escrever esses números que falei numa reta real. Lembre-se que os números reais são os mais conhecidos, e ele pode ser representado por uma reta, que é comum se chamar reta real.

Reta real :
2/3 5/4 $\sqrt[]{2}$
___________________x____________x_______________x____________________ >>>

Essas setas indicam que pra direita os números crescem. A reta tem infinitos pontos. Cada ponto é um número. Onde eu coloquei x é porque estão os pontos que eu queria achar na reta. Em cima do x eu coloco o valor dos pontos. Basicamente achar os pontos na retá é dizer mais menos onde eles estão. Você poderia achar pensando na reta como uma régua. Aí para o número 2/3 , você iria ter que fazer um x na régua onde vale 0,66666. E assim por diante.
Pode parecer meio complicado mas esse conceito de número irracional, racional, real é mais complicado de se entender no ensino médio porque você precisa associar com a reta, com alguma coisa geométrica, senão parece que não faz sentido. Número irracional até hoje é misterioso.

Para ver mais sobre o assunto veja no wikipedia:
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

por **LuizCarlos** » Qua Mar 21, 2012 09:57

nietzsche escreveu:Luiz Carlos,
um número se chama racional quando ele pode ser escrito como uma fração. O nome racional é uma derivação de razão, isto é, a razão entre dois números. Razão é aquela idéia de uma sobre o outro. Por exemplo, se quiser escrever matematicamente a razão entre 2 e 3, nós escrevemos:
$\frac{2}{3}$
Então se você falar em fração, razão, um sobre o outro, etc... você já tem que pensar num número escrito em fração, por exemplo, $\frac{5}{4}$ .
Agora os número irracionais são aqueles que não podem ser escritos como a razão de dois números. Então se considerarmos novamente a razão entre 2 e 3, isto é, o número escrito como $\frac{2}{3}$ , nós já sabemos só de olhar pra ele que ele não é um número irracional.
Agora pense no número $\sqrt[]{2}$ , que é lido como raíz quadrada de dois. Digita ele em qualquer calculadora e aperta o símbolo =. A calculadora vai exibir quanto vale esse número.
Agora você deve lembra que a fração 2/3 é o mesmo que nós calcularmos 2 dividido por 3. Se você digitar isso na calculadora e apertar o = vai obter 0,66666666666.
Se você digitar 5/4 na calculadora e apertar o igual você obtém 1,25.
Se você digitar $\sqrt[]{2}$ na calculadora e aperta igual, você obtém 1,41421356 note que preencherá todas casas da calculadora.
A diferença entre a raiz quadrada de 2 e o 2/3 é que no 2/3 percebemos a ordem lógica dos números que vem depois da vírgula. Na realidade o 0,666666666666666666666666666 vai com 6666 um monte de vezes, mas a calculador não tem que parar. Ás vezes ela arredonda colocando um 7 na última casa.
Enfim, o número racional tem uma "ordem" nos seus dígitos quando está escrito na forma decimal. Forma decimal é o número com vírgula, como esse 1,25. Agora o irracional não tem como saber a ordem. Tem calculadoras que calculam até mil casas após a vírgula e o pior é que não se sabe o padrão dos números que se repete. O 0,66666 já se sabe que vira sempre um 6, mesmo que tenha infinitos 6 depois da vírgula. Agora os números irracionais, não tem como sabe. Você pode também pensar no irracional usado como adjetivo do português. É irracional porque não tem lógica, é meio louco, não tem como se saber o que vira.
Tendo uma noção do que é um número racional e um irracional e como ajuda de uma calculadora, você pode escrever esses números numa reta. Você escreve aproximadamente. Por exemplo, vou escrever esses números que falei numa reta real. Lembre-se que os números reais são os mais conhecidos, e ele pode ser representado por uma reta, que é comum se chamar reta real.

Reta real :
2/3 5/4 $\sqrt[]{2}$
___________________x____________x_______________x____________________ >>>

Essas setas indicam que pra direita os números crescem. A reta tem infinitos pontos. Cada ponto é um número. Onde eu coloquei x é porque estão os pontos que eu queria achar na reta. Em cima do x eu coloco o valor dos pontos. Basicamente achar os pontos na retá é dizer mais menos onde eles estão. Você poderia achar pensando na reta como uma régua. Aí para o número 2/3 , você iria ter que fazer um x na régua onde vale 0,66666. E assim por diante.
Pode parecer meio complicado mas esse conceito de número irracional, racional, real é mais complicado de se entender no ensino médio porque você precisa associar com a reta, com alguma coisa geométrica, senão parece que não faz sentido. Número irracional até hoje é misterioso.

Para ver mais sobre o assunto veja no wikipedia:
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

Certo, obrigado por tentar me ajudar! mas tudo isso que você colocou, esse texto, eu sei, não precisava me explicar o conceito de número racional e irracional, pois sei muito bem que todo número racional são os que podem ser colocados em forma de fração, com numerador e denominador sendo números inteiros e o denominador diferente de zero, pois não existe divisão por zero. Já os irracionais são todos os números que não podem ser colocados em forma de fração, pois são decimais e possuem infinitas casas que não se repetem, não possuem periodo se repetindo, são o número PI, raizes.

Mas a pergunta é: Como localizo uma dízima periódica na reta, por exemplo: 0,333333333... 0,373737373737....

Como localizo o número irracional 0,35335333533335...

Para localizar esse número irracional 0,35335333533335... preciso aproximar ele, ou não.

por **Juvenal** » Qua Mar 21, 2012 11:07

Mas a pergunta é: Como localizo uma dízima periódica na reta, por exemplo: 0,333333333... 0,373737373737....

Como demonstrar na reta a dízima 0,333...

: Reta de 10 cm

por **LuizCarlos** » Qua Mar 21, 2012 11:50

Juvenal escreveu:Mas a pergunta é: Como localizo uma dízima periódica na reta, por exemplo: 0,333333333... 0,373737373737....

Como demonstrar na reta a dízima 0,333...

Dizima.png

Olá amigo, Juvenal, consegui entender! muito obrigado, mas só faltou agora representar 0,37373737.....

Encontrando a fração geratriz dessa dízima, o resultado é $\frac{37}{99}$ , mas agora não sei como representar essa fração!

Percebi que número racional não precisa realmente aproximar! entendi o que o amigo LuizAquino explicou.

Faltou também você me explicar a questão do número irracional 0,35335333533335... , já que número irracional não tem como ser representado em forma de fração.

por **LuizAquino** » Qua Mar 21, 2012 12:16

LuizCarlos escreveu:Percebi que número racional não precisa realmente aproximar! entendi o que o amigo LuizAquino explicou.

Prezado Luiz Carlos, você está fazendo confusão.

Eu não expliquei coisa alguma nesse seu tópico.

Quem lhe explicou isso foi o colega MarceloFantini. É a ele que você deve agradecer. Assim como ao nietzsche e ao Juvenal, que também lhe ajudaram a responder a sua dúvida.

por **LuizCarlos** » Qua Mar 21, 2012 13:52

LuizAquino escreveu:
LuizCarlos escreveu:Percebi que número racional não precisa realmente aproximar! entendi o que o amigo LuizAquino explicou.

Prezado Luiz Carlos, você está fazendo confusão.

Eu não expliquei coisa alguma nesse seu tópico.

Quem lhe explicou isso foi o colega MarceloFantini. É a ele que você deve agradecer. Assim como ao nietzsche e ao Juvenal, que também lhe ajudaram a responder a sua dúvida.

Isso, fiz confusão mesmo, foi o MarceloFantini, mas creio que você já me ajudou em outros tópicos, por isso a confusão rsrs.
Mas aproveitanto, me ajuda qui nesse tópico também, com minha dúvidas.

por **Juvenal** » Qua Mar 21, 2012 15:02

Coloca o 0,37373737... = $\frac{37}{99}$ um pouco depois do 0,333... = $\frac{1}{3}$ e entre eles põe o número irracional 0,35335333533335... em forma de dízima mesmo.

por **LuizCarlos** » Qua Mar 21, 2012 16:49

Juvenal escreveu:Coloca o 0,37373737... = $\frac{37}{99}$ um pouco depois do 0,333... = $\frac{1}{3}$ e entre eles põe o número irracional 0,35335333533335... em forma de dízima mesmo.

Amigo Juvenal, não consigo entender é o seguinte: no livro ensina a dividir a unidade em partes conforme manda o denominador, $\frac{1}{3}$ é uma fração própria, então significa que é menor que 1, então fica entre 0 e 1, dividindo a unidade em 3 partes iguais, pego a primeira e lá estará localizado $\frac{1}{3}$ . Agora acompanhe meu raciocínio, 0,37373737.... = $\frac{37}{99}$ , então teria que dividir a unidade em 99 partes iguais e pegar 37, mas não tem como fazer isso, seria muito trabalhoso e sem necessidade, então qual a forma para representar essa fração na reta numérica. Porque você somente falou, coloca um pouco depois de 0,333...., então essa sua explicação da a entender que tenho que deduzir onde ficará a marcação de $\frac{37}{99}$ , ou nesse caso de frações com denominadores muito altos, não tem uma marcação precisa na reta. No aguardo.

por **Juvenal** » Qua Mar 21, 2012 17:51

Sim, como um professor demonstraria isso numa lousa.

por **LuizCarlos** » Qua Mar 21, 2012 18:45

Juvenal escreveu:Sim, como um professor demonstraria isso numa lousa.

Certo agora só não estou entendendo isso:

Para perceber onde fica o número irracional, vá analisando casa decimal a casa decimal para perceber onde ele está. Com a primeira casa decimal temos que todos são 0,3. Tomando agora a segunda casa decimal, fica 0,33 e 0,37. O número irracional será 0,35. Isto mostra que ele é maior que o primeiro e menor que o segundo. Matematicamente, expressamos isso como 0,33 < 0,35 < 0,37. Daí, o ponto irracional ficará ENTRE os pontos racionais citados.

Entendi o que o Amigo Marcelo ensinou, mas minha dúvida é a seguinte, um numero irracional não pode ser colocado em forma de fração certo.
Então no caso do 0,353353335...... tenho que aproximar esse número com duas casas decimais,para fazer a comparação entre os outros decimais, para dessa forma perceber quem vem antes, e depois do outro. O Macerlo falou que um número racional não se aproxima, então porque posso aproximar uma dizima periódica, sendo que ela é um número racional, quando acho sua fração geratriz.

por **Juvenal** » Qua Mar 21, 2012 18:59

Não entendi o final do que vc quis dizer.
Devo lembrar que o conjunto dos números racionais unido com o conjunto dos números Irracionais forma o conjunto dos números reais.

Logo numa reta real você tem qualquer número racional quanto tem qualquer número Irracional.

por **LuizCarlos** » Qua Mar 21, 2012 19:12

Juvenal escreveu:Não entendi o final do que vc quis dizer.
Devo lembrar que o conjunto dos números racionais unido com o conjunto dos números Irracionais forma o conjunto dos números reais.

Logo numa reta real você tem qualquer número racional quanto tem qualquer número Irracional.

O final, eu citei o seguinte, me falaram aqui que não posso aproximar números racionais, então como posso aproximar uma dizima periódica, sendo que essa dízima é um número racional.