Trigonometria

por **Anderson Alves** » Sex Mar 09, 2012 23:40

Olá pessoal.

Tenho dúvida nesta questão:

Um retângulo com lados adjacentes medindo Sen a e Cos b, com 0 < a ?/2, tem Perímetro igual a ?6. Qula a área do retângulo?

bom; O perímetro é a soma de todos os lados do retângulo
A área é a fórmula base x altura.

Pois não consegui chegar a um resultado conforme marcada pela questão: 1/4

Ficarei grato pela ajuda

por **fraol** » Sáb Mar 10, 2012 10:19

Fiz uma figura pra gente analisar:

: retangulo; figura.png (6.6 KiB) Exibido 2728 vezes

Sendo os lados adjacentes, tanto faz tomarmos x = sena a

e

ou inverso, o que estaríamos fazendo é trocar a referência do ângulo $\alpha$ para o ângulo $\beta$ , veja a figura.

O que vale ressaltar é que, como os lados são adjacentes,
então sendo um o sen a

e o outro o cos b

,
teremos que o ângulo

é igual ao ângulo

. Isto é:

$\hat a = \hat b$ daí decorre que o perímetro é igual a

$sena + cos b + sen a + cos b = sena + cos a + sen a + cos a = 2 (sen a + cos b) = \sqrt{6}$ , ou seja:

$sen a + cos a = \frac{\sqrt{6}}{2}$ , elevemos ao quadrado ambos os membros dessa igualdade:

$\left ( sen a + cos a \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2$ , que desenvolvendo dá:

$sen^2 a + cos^2 a + 2 sen a cos a = \frac{6}{4} \iff 1 + 2 sen a cos a = \frac{6}{4}$

$\iff 2 sen a cos a = \frac{6}{4} - 1 = \frac{2}{4}$ . Então

$sen a cos a = \frac{1}{4}$ que é a área pedida ( sen a cos b

).

É isso.

por **Anderson Alves** » Sáb Mar 10, 2012 13:33

Valeu!!!

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