Geometria Plana envolvendo P.A

por **Ana Carolina Caetano** » Sáb Mar 03, 2012 00:13

Alguem poderia me ajudar com essa questão de geometria plana? Eu tentei por P.A mas não consigo achar a razão! Desde já agradeço!

Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 2cm, construimos um 2º triangulo retangulo onde um dos catetos esta apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede 2cm. Construimos um 3º triangulo com um dos catetos medindo 2cm e o outro apoiado na hipotenusa do 2º triangulo. Se continuarmos a construir triangulos sempre da mesma forma, a hipotenusa do 15º triangulo medira:

15cm
15 raiz de 2
14 cm
8 cm (acho que é a resposta)
8 raiz de 2

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 03, 2012 00:43

Não é progressão aritmética. A primeira hipotenusa tem valor $2 \sqrt{2}$ , enquanto que a segunda tem $2 \sqrt{3}$ .

Repetindo a construção para o terceiro, teremos $(2 \sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16$ , daí a terceira hipotenusa terá $2 \sqrt{4} = 4$ .

Novamente, para que você perceba, repetimos a construção e vemos que (4)^2 + (2)^2 = 16 + 4 = 20

, logo a quarta hipotenusa será $2 \sqrt{5}$ .

Consegue ver o padrão?

por **Ana Carolina Caetano** » Sáb Mar 03, 2012 01:10

Entendi o padrão sim! A terceira hipotenusa é 4 e não 2 raiz de 4 certo?

Mas pra terminar o resto da questão eu vou ter que fazer até o 15º? Não tem uma forma mais rápida?

Obrigada!

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 03, 2012 01:17

Bom, pela pergunta mostra que não percebeu. Lembre-se que $\sqrt{4} = 2$ logo $2 \sqrt {4} = 2 \cdot 2 = 4$ , é uma forma diferente de escrever o mesmo número.

O padrão é, se estivermos na

-ésima construção, a hipotenusa será $2 \sqrt{n+1}$ .

Primeira construção, hipotenusa: $2 \sqrt{1+1} = 2 \sqrt{2}$ .
Segunda construção, hipotenusa: $2 \sqrt{2+1} = 2 \sqrt{3}$ .
Terceira construção, hipotenusa: $2 \sqrt{3+1} = 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$ .
Quarta construção, hipotenusa: $2 \sqrt{4+1} = 2 \sqrt{5}$ .

Assim em diante. Usando isso, resolva.