Matriz

por **Claudin** » Qua Fev 15, 2012 17:44

Resolva, usando escalonamento de matrizes (metodo de Gauss ou de Gauss-
Jordan), o sistema linear:
$\begin{cases} 2x - 3y + 2z + 5w = 3\\ x - y + z + 2w = 1\\ 3x + 2y + 2z + w = 0\\ x - 2y + z + 3w = 2 \end{cases}$

$\begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 & 5 & 3\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

1º Passo
$L_1 \leftarrow L_1 - L2$

$\begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 & 5 & 3\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

2º Passo
$L_2 \leftarrow L_2 - L1$
$L_3 \leftarrow -3L_1 - L3$
$L_4 \leftarrow L_4 - L1$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 8 & -1 & -8 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3º Passo
$L_2 \leftarrow 2L_2 + L1$
$L_3 \leftarrow -8L_2 + L3$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 8 & -1 & -8 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

4º Passo
$L_3 \leftarrow -L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

5º passo
$L_1 \leftarrow L_1 -L_3$
$L_2 \leftarrow L_2 - L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Consegui chegar até essa parte, alguém ajuda a concluir o exercício?

por **LuizAquino** » Qua Fev 15, 2012 18:22

Claudin escreveu:2º Passo
$L_2 \leftarrow L_2 - L1$
$L_3 \leftarrow -3L_1 - L3$
$L_4 \leftarrow L_4 - L1$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 8 & -1 & -8 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Aqui houve apenas um erro de digitação. Você escreveu que realizou a operação $L_3 \leftarrow -3L_1 - L3$ , entretanto você realizou a operação $L_3 \leftarrow -3L_1 + L3$ .

Claudin escreveu:3º Passo
$L_2 \leftarrow 2L_2 + L1$
$L_3 \leftarrow -8L_2 + L3$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 8 & -1 & -8 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Esse passo está errado. Note que na primeira operação você atualizou a linha 2, mas ao calcular a nova linha 3 você utilizou em suas contas a antiga linha 2.

Além disso, a linha 2 atualizada seria [1 0 1 1 0], mas você escreveu que era [0 1 1 1 0].

De qualquer forma, nesse passo não haveria a necessidade de alterar a linha 2. Você poderia apenas alterar a linha 3. Sendo assim, bastava fazer:

3º Passo)
$L_3 \leftarrow -8L_2 + L3$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 8 & -1 & -8 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Agora tente continuar.

por **Claudin** » Qui Fev 16, 2012 16:44

Parece que fiz mais confusão ainda, se tiver como editar meu rascunho acima, deixando-o correto iria ajudar no entendimento, pois só fiz mais confusão com sua explicação.

por **LuizAquino** » Qui Fev 16, 2012 18:44

Claudin escreveu:Parece que fiz mais confusão ainda, se tiver como editar meu rascunho acima, deixando-o correto iria ajudar no entendimento, pois só fiz mais confusão com sua explicação.

Partindo do 3º Passo que eu escrevi acima, você não conseguiu continuar? O que você tentou fazer?

Vale lembrar que o seu 1º Passo e o seu 2º Passo estão corretos, sendo que no 2º Passo houve apenas um erro de digitação.

por **Claudin** » Qui Fev 16, 2012 18:57

O que estou fazendo confusão seria porque você resolve buscando achar a matriz triangular superior no caso, já eu tento por outra forma, escalonando tudo, que é do jeito que meu professor pede na prova.

por **LuizAquino** » Qui Fev 16, 2012 19:36

Claudin escreveu:O que estou fazendo confusão seria porque você resolve buscando achar a matriz triangular superior no caso, já eu tento por outra forma, escalonando tudo, que é do jeito que meu professor pede na prova.

Veja se essa videoaula lhe ajuda a desfazer essa confusão:

Método de Gauss-Jordan, escalonamento e sistemas lineares
http://www.youtube.com/watch?v=I1kexTz5GTM

por **Claudin** » Qui Fev 16, 2012 19:54

Eu resolvo do mesmo modo expresso no vídeo, transformando a diagonal principal em 1.

por **LuizAquino** » Sex Fev 17, 2012 10:43

Claudin escreveu:Eu resolvo do mesmo modo expresso no vídeo, transformando a diagonal principal em 1.

Analise o que lhe expliquei em seu outro tópico e tente terminar esse exercício.

por **Claudin** » Sáb Fev 25, 2012 20:25

Não consegui entender ainda, refiz e deu a mesma coisa, talvez estou errando em pequenos detalhes

por **Claudin** » Seg Fev 27, 2012 17:29

O resultado que cheguei após a correção foi esse:

$\begin{cases} x + w = -2\\ y - w = -1\\ z = -2 \end{cases}$

Caso continue errado, alguém ajude.

Obrigado

:y:

por **LuizAquino** » Seg Fev 27, 2012 22:11

Claudin escreveu:O resultado que cheguei após a correção foi esse:

$\begin{cases} x + w = -2\\ y - w = -1\\ z = -2 \end{cases}$

Caso continue errado, alguém ajude.

Está errado.

Entretanto, também há um erro de digitação no 3º Passo) que enviei anteriormente. Abaixo está em destaque o erro:

3º Passo)

$L_3 \leftarrow -8L_2 + L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & \fbox{-2} & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 8 & -1 & -8 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & \fbox{0} & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

O correto seria:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 8 & -1 & -8 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Continuando a partir disso, temos que:

4º Passo)
$L_3 \leftarrow -L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

5º Passo)
$L_1 \leftarrow L_1 + 2L_2$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

6º Passo)
$L_1 \leftarrow L_1 - L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Portanto, o sistema é equivalente a:

$\begin{cases} x + w = 2\\ y - w = -1\\ z = -2 \end{cases}$

por **Claudin** » Ter Fev 28, 2012 12:14

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