Setor Circular

por **Arkanus Darondra** » Qua Fev 01, 2012 18:42

Meu livro traz duas relações sobre setor circular:
Relacionando raio(r) e comprimento(l=AB):
$2.\pi.r \rightarrow$ $\pi.r^2 \Rightarrow A = \frac{l.r}{2}$
$l \rightarrow A$

Relacionando raio (r) e ângulo:
$2.\pi\rightarrow$ $\pi.r^2 \Rightarrow A=\frac{\alpha.r^2}{2}$
$\alpha\rightarrow$

Com isso é possível calcular a área lateral de um cone por meio da primeira relação (considerando que o raio do setor terá o valor da geratriz do cone (g):
$A_l = \frac{l.r}{2} \Rightarrow A_l=\frac{(2.\pi.r)g}{2} \Rightarrow A_l = \pi.r.g$
Ele também chega numa fórmula que calcula o ângulo do setor:
$\alpha=\frac{2.\pi.r}{g}$
Tentei demonstrar essa fórmula. Igualei as duas relações, chegando à $\alpha = \frac{l}{r}$
Então, chamei r de g.

Primeira dúvida: O modo como demonstrei é o correto?
Segunda dúvida: Como resolver o exercício abaixo:
A área lateral de um cone de revolução é $60.\pi cm^2$ . Desenvolvendo a superfície lateral, tem-se um setor circular de raio 10cm. A medida do ângulo central desse setor, em radianos, é:
Gabarito: $\frac{6.\pi}{5}$
Tentei jogar na fórmula que calcula o ângulo do setor, mas cheguei em $6.\pi$ , o que é absurdo.

por **Arkanus Darondra** » Qua Fev 01, 2012 22:07

Explicando as relações
Relacionando raio(r) e comprimento(l=AB):
Se em uma circunferência completa o comprimento é $2.\pi.r$ e a área $\pi.r^2$ , basta montar uma regra de três simples com o comprimento

e área

Relacionando raio (r) e ângulo:
Mesma lógica de cima, considerando que em uma circunferência completa o ângulo é de 360º, ou seja, $2.\pi$ , e queremos relacionar com $\alpha$

por **LuizAquino** » Qui Fev 02, 2012 02:28

Arkanus Darondra escreveu:Ele também chega numa fórmula que calcula o ângulo do setor:
$\alpha=\frac{2.\pi.r}{g}$

Tentei demonstrar essa fórmula. Igualei as duas relações, chegando à $\alpha = \frac{l}{r}$
Então, chamei r de g.

Primeira dúvida: O modo como demonstrei é o correto?

Em resumo: Ao igualar as duas relações (isto é, $A = \frac{lr}{2}$ e $A = \frac{\alpha r^2}{2}$ ), você obteve que em qualquer setor circular de raio r, ângulo central $\alpha$ e comprimento l, é válida a relação $\alpha = \frac{l}{r}$ . Isso está correto.

No caso do cone circular reto, o setor circular que representa a sua área lateral tem raio medindo g e comprimento medindo $2\pi r$ , sendo r o raio da base (vide a figura abaixo). Vamos dizer que o seu ângulo central seja $\alpha$ . Substituindo essas informações na relação que você encontrou, temos que $\alpha = \frac{2\pi r}{g}$ . Com isso você chega na fórmula que desejava.

: cone-circular-reto.png (11.07 KiB) Exibido 5728 vezes

Arkanus Darondra escreveu:Segunda dúvida: Como resolver o exercício abaixo:
A área lateral de um cone de revolução é $60\pi$ cm². Desenvolvendo a superfície lateral, tem-se um setor circular de raio 10 cm. A medida do ângulo central desse setor, em radianos, é:
Gabarito: $\frac{6\pi}{5}$

Da primeira informação do problema, temos que:

$\pi r g = 60 \pi$

Da segunda informação do problema, temos que:

g = 10

Dessas duas informações, concluímos que:

r = 6

Por fim, usando a fórmula para o ângulo central:

$\alpha = \frac{2\pi r}{g} = \frac{12\pi}{10} = \frac{6\pi}{5}$

por **Arkanus Darondra** » Qui Fev 02, 2012 11:37

Valeu!

por **Arkanus Darondra** » Sáb Fev 04, 2012 12:39

Surgiu outra dúvida: Qual a relação entre área lateral de um cone com o seu setor circular? São iguais?
O exercício diz que a área lateral é de $60.\pi\text{cm}^2$
Partindo da segunda relação:
A $= \frac{\alpha.r^2}{2} \Rightarrow A=\frac{\frac{6.\pi}{5}.10^2}{2} \Rightarrow A=\frac{600.\pi}{10} \Rightarrow A=60.\pi\text{cm}^2$
Creio que isso que tenha me confundido no exercício acima, pois troquei comprimento pela área, chegando, erroneamente, à $l = 60.\pi\text{cm}^2$

por **LuizAquino** » Dom Fev 05, 2012 00:08

Arkanus Darondra escreveu:Surgiu outra dúvida: Qual a relação entre área lateral de um cone com o seu setor circular? São iguais?

Não é que um cone circular reto "tenha" um setor circular.

O que acontece é que a sua área lateral ao ser "desenrolada" da base faz surgir um setor circular.

Falando de forma mais formal, ao planificarmos um cone circular reto nós obtemos um círculo (proveniente da base) e um setor circular (proveniente da lateral).

Nesse contexto, verificamos que a área lateral de um cone circular reto é igual a área do setor circular proveniente de sua planificação.

por **Arkanus Darondra** » Dom Fev 05, 2012 09:20

LuizAquino escreveu:Falando de forma mais formal, ao planificarmos um cone circular reto nós obtemos um círculo (proveniente da base) e um setor circular (proveniente da lateral).

Nesse contexto, verificamos que a área lateral de um cone circular reto é igual a área do setor circular proveniente de sua planificação.

Certo. Valeu novamente! :y:

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