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[Continuidade] Demonstração

[Continuidade] Demonstração

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sáb Out 29, 2011 14:20

Seja f(x)=x+\frac{1}{x}. Prove que

a) |f(x)-f(1)|\leq\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|, para todo x>0
b)  |f(x)-f(1)|\leq3|x-1|, para x>\frac{1}{2}
c) Use a e b para provar por \epsilon e \delta que f é contínua em x=1

Eu pensei em algo que pudesse ajudar na resolução do item a). Foi o seguinte:

\lim_{x\to0^{+}} f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\left(x+\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to0^{+}}x+\lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)=0+\infty=+\infty

Como \lim_{x\to0^{+}} f(x)+\infty, temos, pela definição de limites laterais e pela definição de limites no infinito, que:

\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 tal que

0<x<0+\delta \Rightarrow f(x)>\epsilon, ou seja:

x<\delta \Rightarrow f(x)>\epsilon

Mas eu não sei como, e nem se é possível, usar esse resultado para provar a afirmação do item a).

Alguém pode me ajudar?
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Re: [Continuidade] Demonstração

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Out 29, 2011 16:16

Teremos f(1) = 1 + 1 = 2, e daí |f(x) - f(1)| = \left\vert x + \frac{1}{x} - 2 \right\vert = \left\vert (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - x\right)\right\vert. Agora usando a desigualdade triangular:

\left\vert (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - x\right)\right\vert \leq |x-1| + \frac{1}{x} |x-1| = \left( 1 + \frac{1}{x} \right) |x-1|

E fica provado o item a). Para o item b), basta perceber que para x > \frac{1}{2} temos \frac{1}{x} < 2 e daí 1 + \frac{1}{x} < 3, e portanto pelo item a) concluimos |f(x) - f(1)| \leq 3|x-1|.

Tente fazer o item c).
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Re: [Continuidade] Demonstração

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sáb Out 29, 2011 19:09

Eu somei as duas desigualdades e, depois de algumas manipulações, ficou:

|f(x)-f(1)|\leq|x-1|\left(2+\frac{1}{2x}\right)

Como, para provar a continuidade em 1 usando \epsilon e \delta, tenho que chegar numa expressão:

|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|< \epsilon

Poderia escrever |f(x)-f(1)|< \delta\left(2+\frac{1}{2x}\right)

No entanto, eu tenho que restringir \left(2+\frac{1}{2x}\right)

Pois não pode ficar dependente de x

Poderia estimar, por exemplo \delta =1 e analisar o comportamento de \left(2+\frac{1}{2x}\right) no intervalo 0<x<2. Mas essa função vai pro infinito para valores de x próximos de 0.

Não sei como prosseguir daqui. Poderia me ajudar?
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Re: [Continuidade] Demonstração

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Out 29, 2011 20:48

Devemos mostrar que dado \varepsilon >0, podemos encontrar \delta = \delta(\varepsilon) > 0 tal que |x-a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon. Pelo item b), isto nos sugere que tomemos \delta = \frac{\varepsilon}{3}. Assim, teremos que pelo item b que:

|f(x) - f(1)| \leq 3|x-1| < 3 \delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon

O que conclui a demonstração.
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Re: [Continuidade] Demonstração

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sáb Out 29, 2011 21:11

Entendi. Mais simples do que pensava.

Eu descobri que essa questão é do Guidorizzi. Olhei no gabarito e a resposta é \delta=min \frac{\epsilon}{3},\frac{1}{2}}.

Você poderia me falar por quê?
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.