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PG - PA

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Mensagempor kotta » Qui Jan 31, 2008 13:11

Olá, poderia me ajudar com este exercício?
(UFMG-97- ADAPTADA)Três números reais positivos a,b, c satisfazem o sistema abc={3}^{9}[/tex]
a+b+c=117[/tex]

Além disso, eles estão em progressão geometrica, isto é, existe um número real R tal que b+aR e c=bR.
Determine todos os possíveis valores de R e os correspondentes valores de a,b,c.
kotta
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Re: PG - PA

Mensagempor admin » Qui Jan 31, 2008 18:39

Condições:
a,b,c \in \Re

a,b,c > 0

\left\{
\begin{matrix}
   abc   &= &3^9 &(I) \\ 
   a+b+c &= &117 &(II)
\end{matrix}
\right.

a,b,c estão em progressão geométrica, com razão R \in \Re:
b=aR

c=bR

Vamos reescrever o sistema de equações, utilizando a informação sobre P.G.:
\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot bR   &= &3^9 \\
   a+aR+bR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a\cdot aR \cdot aRR   &= &3^9 \\
   a+aR+aRR &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   a^3\cdot R^3 &= &3^9 \\
   aR^2+aR+a &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   (aR)^3 &= &(3^3)^3 \\
   a(R^2+R+1) &= &117
\end{matrix}
\right.

\left\{
\begin{matrix}
   aR &= &27 &(III)\\
   a(R^2+R+1) &= &117 &(IV)
\end{matrix}
\right.

agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas


De (III):

a= \frac{27}{R}

Substituindo em (IV):

\frac{27}{R}(R^2+R+1) = 117

27R^2+27R+27 = 117R

27R^2+27R+27 - 117R = 0

27R^2-90R+27 = 0

Vamos resolver esta equação do segundo grau:
\Delta = (-90)^2 -4\cdot 27 \cdot 27

\Delta = 8100 - 2916 = 5184

R = \frac{90\pm \sqrt{5184}}{54}

R = \frac{90\pm 54}{54}

R = 3 ou R=\frac13


Para R = 3 e as condições atendidas, teremos que:
\left\{
\begin{matrix}
   a &= &9 \\
   b &= &27 \\
   c &= &81
\end{matrix}
\right.


Para R = \frac13:

\left\{
\begin{matrix}
   a &= &81 \\
   b &= &27 \\
   c &= &9
\end{matrix}
\right.


Caso tenham outra resolução, comentários ou correções, escrevam.
Espero ter ajudado.
Fábio Sousa
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Sáb Fev 02, 2008 20:35

Olá, uma nova questão de PA E PG, não estou conseguindo ver uma maneira direta pra resolver.
Estava pensando em encontrar o valor de com o valor da razão que foi dado, mas simplesmente não consigo. A questão é a seguinte.
(UFMG - 2002) Os números a,b, c, nessa ordem estão em progressão geométrica de razão \frac{4}{3}. Além disso, a-1, b, c, nessa ordem, estão em progressão aritmética a, b, c.

Eu estava tentando resolver assim:
R=\frac{b}{a}= \frac{b}{c}
[tex]\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
e lembrando da teoria de PG que diz: b=a*r

mas qdo vou resolver nada.
\frac{4}{3}= \frac{b}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*4/3}{a}
simplifico, cortando a com a e fico com valores que eu ja tenho, ou seja, r=\frac{4}{3}e volto a ficar sem saber o valor de a.
Será que podem me ajudar?
Estou completamente perdida com a mtemática, e isso é só o começo. rsrs

Abs.
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Re: PG - PA

Mensagempor admin » Dom Fev 03, 2008 00:08

Olá kotta.
É importante comentar as tentativas, mesmo que não tenham sido produtivas.

Resolvi o exercício no papel, mas antes de postar aqui, seguem algumas dicas:

1) Como a razão da P.G. é dada, você já pode escrever os 3 termos desta P.G. em função de a, ou seja:
P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

2) Analogamente, faça o mesmo para a P.A:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

3) Agora, para resolver, note o seguinte:
Na P.G., a razão é um valor constante, sendo o quociente entre um termo e seu antecessor.
Já na P.A., a razão também é constante, sendo a diferença entre um termo e seu antecessor.
Então, aplique este conceito de razão de P.A. à nossa P.A. acima, igualando a diferença do segundo termo pelo primeiro, com a diferença do terceiro pelo segundo termo.
Fazendo assim, nesta igualdade, você terá uma equação do primeiro grau, com uma única variável que é exatamente o primeiro termo a, e você poderá encontrá-lo.
Conseqüentemente, poderá substituí-lo para encontrar b e c que estão em função de a.

Você deve encontrar estes valores:
a=9, b=12 e c=16.
Nota: para conferir, teste os valores e verá que satisfazem as progressões citadas.
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Re: PG - PA

Mensagempor admin » Dom Fev 03, 2008 00:42

Como os comentários se anteciparam, segue a resolução com poucas palavras:

Do enunciado, temos as seguintes progressões:
P.G. \left\{ a, b, c \right\} (com razão \frac43)

P.A. \left\{ a-1, b, c \right\} (a razão ainda não sabemos)


O primeiro passo é reescrever a progressão geométrica, considerando a razão informada:
b = \frac{4a}{3}

c = \frac{16a}{9}

P.G. \left\{ a, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Utilizando então b e c em função de a, também reescrevemos a progressão aritmética:
P.A. \left\{ a-1, \frac{4a}{3}, \frac{16a}{9} \right\}

Seja r a razão da P.A., então:
r = \frac{4a}{3} - (a-1)

E também:
r = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

Daqui, obtemos que:
\frac{4a}{3} - (a-1) = \frac{16a}{9} - \frac{4a}{3}

\frac{4a}{3} - a + 1 = \frac{16a - 12a}{9}

\frac{a}{3} + 1 = \frac{4a}{9}

\frac{4a - 3a}{9} = 1

\frac{a}{9} = 1

a = 9

Logo:
b = \frac{4a}{3} = \frac{4\cdot 9}{3} = 12

c = \frac{16a}{9} =  \frac{16 \cdot 9}{9} = 16

E apenas para citar, como já encontramos para resolver, a razão da P.A. é r = 4.
Cuidado na conferência, porque o primeiro termo é a-1.


Espero ter ajudado, e como sempre, caso tenham algum comentário ou complemento, escrevam.
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Re: PG - PA

Mensagempor kotta » Dom Fev 03, 2008 14:58

Valeu Fábio, muito obrigada.
Estava ficando travada na hora de resolver pq estava tentando resolver pela PG. Agora vou refazer meus calculos.
Você está me ajudando muito.
Grande abraço.
Kenia
kotta
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?