[CALCULO] derivada de função composta

por **beel** » Ter Out 04, 2011 22:45

derivada de f(x)= sen(x + x²)

seria, ( pela regra da cadeia)
sen'(x + x²)(x + x²)' =
cos(x + x²)(1 + 2x)*

minhas perguntas são:
1- o x² é uma função composta?
sua derivada ficaria apenas
* 2x ou seria 2x.(x)'

2- eu tenho que derivar a interna do cosseno? (x + x²)?

por **LuizAquino** » Qua Out 05, 2011 11:25

isanobile escreveu:1- o x² é uma função composta?
sua derivada ficaria apenas
* 2x ou seria 2x.(x)'

Você até pode enxergar h(x) = x^2

como uma função composta, mas isso é desnecessário. Basta aplicar direto a regra de derivação já conhecida para monômios: $h^\prime (x) = 2x^{2-1} = 2x$ .

Se ainda assim você quer enxergar uma composição de funções (e ter bem mais trabalho), então você poderia fazer algo como:
$f(u) = u^2 \textrm{ e } g(x) = x \Rightarrow h(x) = f(g(x)) = [g(x)]^2 = x^2$

Aplicando a Regra da Cadeia:
$h^\prime (x) = f^\prime (g(x)) g^\prime (x)$

Mas, temos que:
(i) $f^\prime(u) = 2u$
(ii) $f^\prime (g(x)) = 2g(x) = 2x$
(iii) $g^\prime (x) = 1$

Portanto, no final ficamos com:
$h^\prime (x) = 2x \cdot (1) = 2x$

Obviamente, essa resposta é a mesma que já sabíamos!