Simplificação do quociante de polinômios de quarto grau

por **Caroline Oliveyra** » Qui Jun 23, 2011 22:19

Oi, boa noite!!

Estou fazendo uma lista de exercícios só sobre simplificação e gostaria que vocês me ajudassem com uma questão particularmente difícil (pra mim).
Eu preciso simplificar a fração: $\frac{x^3 - x^2 - 8x + 12}{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 20x - 12}$

Eu tentei simplificar a do numerador (3º grau) da seguinte forma: fatorei o termo independente (no caso, o 12) e testei os resultados (positivos e negativos) na expressão pra achar uma raiz. Depois usei essa raiz no dispositivo de Briot Ruffini e cheguei a uma equação de segundo grau. O meu objetivo era encontrar as duas raizes dessa equação por "Baskaras" e com as três raizes decompor em fatores de grau 1: coeficiente do termo de maior grau .(x - ${r}_{1}$ ).(x - ${r}_{2}$ ).(x - ${r}_{3}$ )

O problema foi que a raiz que eu usei pra fazer Briot Ruffini foi a mesma que eu encontrei resolvendo a equação de segundo grau, ou seja, não consegui encontrar as três raizes, apenas duas. Por favor, alguém me diz os passos que eu tenho que seguir na ordem correta pra eu conseguir simplificar isso...

Na minha lista de exercícios tem umas 10 questões iguais a essa, tem até com equação de quinto grau! Se eu não consegui nem a de terceiro, que me dirá a de quarto e quinto...

Muuuuuito obrigada a quem puder me ajudar!!

Beijos!

por **FilipeCaceres** » Qui Jun 23, 2011 22:45

Tente achar a raiz de cada polinômio,a do numerador e do denominador.

Procurando pelas raízes encontramos,
x^3 - x^2 - 8x + 12=(x-2)^2(x+3)

x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 20x - 12=(x-2)^2(x-1)(x+3)

Agora tente fazer o resto.

por **Caroline Oliveyra** » Qui Jun 23, 2011 23:07

Oi!!

Obrigada por responder meu post!

A minha dificuldade foi exatamente encontrar as raizes.

Ter usado a raiz 2 no Briot Ruffini e tê-la encontrado novamente quando resolvi a equação de segundo grau significa necessariamente que eu tenho que elevar (x-2) ao quadrado, poe ter encontrado a mesma raiz duas vezes? A raiz -3 eu tbm encontrei sem dificuldades.

Obrigaaada!

por **FilipeCaceres** » Qui Jun 23, 2011 23:17

No numerador você sabia que 2 era raiz, depois baixou o grau por Briot-Ruffini tendo uma equação do seguindo grau com 2 e -3 como raiz,certo.

Assim temos que,
x^3 - x^2 - 8x + 12=(x-2)(x-2)(x+3)=(x-2)^2(x+3)

x^3 - x^2 - 8x + 12=(x-2)(x-2)(x+3)=(x-2)^2(x+3)

Para o denominador se faz similarmente,
x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 20x - 12=0

,onde 2 é uma raiz usando Briot-Ruffini baixamos o grau e percebemos que 2 é raiz novamente, com isso ficamos com uma equação do 2 grau onde encontramos como raízes 1 e -3.

Logo,
x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 20x - 12=(x-2)(x-2)(x-1)(x+3)=(x-2)^2(x-1)(x+3)