Triângulos

por **claudia** » Ter Nov 11, 2008 13:58

Olá, Fábio
Estou com dúvida em duas questões:
1. O seno dos ângulos iguais de um triângulo isósceles vale 3/5, e o perímetro, 9 m. Calcule o valor de sua área.
Fiz a figura e sei que senB = SenC = 3/5 e que a + b + c = 9 ou a + 2b = 9. já tentei colocar a altura e calcular através do sen = cateto oposto sobre a hipotenusa, mas não estou conseguindo.Também tentei pela fórmula da área: $S=\frac{a.b.senC}{2}$ . Tem uma dica?
2. Num triângulo qualquer, A vale 60 graus e é o ângulo formado pelos lados b = ( $\sqrt[]{3}-1$ )m e c = 1 m. Calcule o valor do ângulo B, oposto ao lado b.
Fiz a figura de tentei encontrar através da lei do cosseno: ${a}^{2}={b}^{2}+ {c}^{2}-2bc.cosA$ e encontrei ${a}^{2}= 6-3\sqrt[]{3}$ . Aí tentei substituir no ${b}^{2}= {a}^{2}+{c}^{2}-2ac.cosB$ , mas não encontrei. Este é o caminho?

Obrigada!

por **admin** » Ter Nov 11, 2008 16:53

Olá Cláudia!

1) Você poderá sim utilizar esta expressão para o cálculo da área que é análoga ao produto da medida da base pela altura do triângulo. Também, traçar a altura será necessário.

Mas antes, repare que o problema inicial é "apenas" encontrar as medidas

e

dos lados.
Depois, o cálculo da área será imediato.

As dicas são:
-traçar a altura, bissetriz do ângulo formado pelos lados de mesma medida;
-lembre-se sempre que o seno refere-se a um triângulo retângulo: marque o ângulo reto entre a altura e a base;
-como o triângulo é isósceles, esta altura passa pela mediatriz da base, ou seja, divide a base em dois segmentos de mesma medida;
-nomeando as medidas da base, dos outros lados e da altura traçada de

,

e

, respectivamente, anote as medidas dos lados dos triângulos retângulos formados (há um par). Atenção pois um dos catetos é $\frac{a}{2}$ ;
-sendo $\alpha$ os ângulos de mesma medida, a partir do triângulo retângulo, note que: $sen\alpha = \frac{h}{b}$ . Utilize aqui o dado do enunciado para escrever

em função de

;
-aplicando o teorema de Pitágoras você terá uma equação entre

e

;
-e com a equação dada do perímetro você terá um sistema com duas equações e as incógnitas

e

.

Bom trabalho!

por **admin** » Ter Nov 11, 2008 19:50

2) Não há apenas uma abordagem, mas este caminho também resolve!
Pode seguir por ele, sem receio. O único trabalho será simplificar o cosB

.
Para facilitar, após isolá-lo, eleve ao quadrado ambos os membros da equação.
Somente então racionalize os denominadores.
Depois extraia a raiz quadrada dos membros da equação.

Como o cosseno que você encontrará é de um ângulo notável, você saberá qual é.

Uma alternativa é utilizar a lei dos senos, mas o trabalho é praticamente o mesmo.
Neste caso, adicionalmente, você precisaria encontrar a medida do raio

da circunferência circunscrita ao triângulo.
Em uma etapa, consideraria esta equação para encontrar

:

$\frac{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{sen60^o} = 2R$

Depois, da mesma forma para encontrar o senB

, substituindo

encontrado:

$\frac{\sqrt{3}-1}{senB} = 2R$

Espero ter ajudado.
Até mais!

por **claudia** » Qui Nov 13, 2008 14:19

Obrigada pelas dicas. Vou continuar tentando.

por **claudia** » Qui Nov 13, 2008 16:21

Fábio,
a primeira eu consegui com suas dicas; mas a segunda não deu certo. Eu já havia encontrado o valor de a, mas não sei como resolver raiz de raiz. Tentei elevar ao quadrado, mas acho que calculei errado. Pode me dar uma dica de como calcular esse número a?
Att

por **admin** » Qui Nov 13, 2008 19:14

Olá.

O valor de

você já calculou, é este mesmo: $a = \sqrt{6-3\sqrt{3}}}$ .
Da expressão do teorema dos cossenos, você precisa isolar o cosB

.
Escreva aqui as etapas que conseguiu na simplificação...

Dicas:
-da expressão do teorema dos cossenos, isole o cosB

;
-eleve os membros ao quadrado;
-simplifique e racionalize o denominador;
-extraia a raiz quadrada dos membros para obter novamente o cosB

já simplificado.

por **claudia** » Sex Nov 14, 2008 14:30

Resolução que consegui:
${a}^{2}= {b}^{2}+{c}^{2}- 2bccosA {a}^{2}= (\sqrt[]{3}-1){}^{2}+1-2(\sqrt[]{3}-1).1.cos60 {a}^{2}= 6 - 3\sqrt[]{3} a = \sqrt[]{6 - 3\sqrt[]{3}} \frac{a}{senA}= 2R \sqrt[]{6-3\sqrt[]{3}}= 2R. \frac{2}{\sqrt[]{3}} elevando os dois ao quadrado: 6 - 3\sqrt[]{3}= \frac{16}{3}.R R= \frac{18 - 9\sqrt[]{3}}{16} \frac{b}{senB}= 2R \frac{\sqrt[]{3}-1}{senB}= \frac{18-9\sqrt[]{3}}{16} senB = \frac{8(\sqrt[]{3}-1}{9}$

como vou encontrar esse valor de seno?

por **admin** » Sex Nov 14, 2008 15:36

Ao editar, procure deixar cada linha da expressão dentro das tags [tex]...[/tex], pulando uma linha entre cada uma, para facilitar a visualização.
Utilize o botão "Prever" para certificar-se de que sua mensagem ficou como realmente gostaria.
Mesmo após enviar, as mensagens ainda podem ser editadas até um certo tempo.

Como você escolheu utilizar a lei dos senos, confira o cálculo do raio.
Para encontrá-lo você não precisa elevar os membros ao quadrado.
Mas repare que mesmo se elevasse, o raio também ficaria ao quadrado, em sua expressão não está.

Após corrigir o raio, você terá uma nova expressão para o seno.

Lembre-se que você ainda pode fazer como antes, apenas isolar o cosseno a partir da lei dos cossenos.

por **claudia** » Seg Nov 17, 2008 23:36

Achei mais fácil pela lei dos senos; só que meu R deu 1 e fazendo $\frac{b}{senB}= 2R$ encontrei senB = $\frac{\sqrt[]{3}-1}{2}$ ; deu isso? E agora?

por **admin** » Ter Nov 18, 2008 00:31

Olá Cláudia!

O raio não é 1.
Para identificarmos o seu erro, tente enviar suas contas a partir daqui, conforme as recomendações que fiz anteriormente:

$\frac{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{sen60^o} = 2R$

$\frac{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\vdots$

por **claudia** » Ter Nov 18, 2008 00:43

$2R . \frac{\sqrt[]{3}}{2}= \sqrt[]{6-3\sqrt[]{3}} R = \frac{\sqrt[]{6-3\sqrt[]{3}}}{\sqrt[]{3}} racionalizando R = \frac{\sqrt[]{18-9}}{3} R = 1$

Soltei linha, mas os denominadores ainda ficaram confusos.

por **admin** » Ter Nov 18, 2008 04:14

Cláudia, você ainda utilizou apenas um par de "tex" para todas as expressões. Utilize um par para cada linha, assim:

Código: Selecionar todos: [tex]2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \sqrt{6-3\sqrt{3}}[/tex] [tex]R = \frac{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}[/tex] [tex]\vdots[/tex]

Veja o resultado deste código:
$2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \sqrt{6-3\sqrt{3}}$

$R = \frac{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$

$\vdots$

Quando você racionalizou, a $\sqrt{3}$ de dentro da raiz quadrada "sumiu".

Mas sugiro que você tente assim para simplificar:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{m}{n}}$

por **claudia** » Ter Nov 18, 2008 09:20

Acho que entendi: posso colocar o 3 em evidencia e cortar com o denominador, assim ficarei com $R= \sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}$ aí, ficarei com: $\left(\frac{\sqrt[]{3}-1}{senB} \right) = 2. \sqrt[]{2-\sqrt[]{3}} aí ficaria com senB = \left(\frac{\sqrt[]{3}-1}{2\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}} \right)$

e agora?

por **admin** » Ter Nov 18, 2008 11:22

Isso Cláudia, agora ficam as mesmas dicas como se tivesse isolado o cosseno:

Dicas:
-eleve os membros ao quadrado;
-simplifique e racionalize o denominador;
-extraia a raiz quadrada dos membros para obter novamente o já simplificado.

Note que se você tivesse isolado o cosseno, a partir da lei dos cossenos, teria uma expressão bem semelhante (mas com cosB

) e finalizaria o problema de forma análoga.