Integral e Soma Dupla de Riemann - Por Favor, Urgente!

por **Bruhh** » Seg Mai 09, 2011 20:17

Olá boa noite.

Bom, estou fazendo um trabalho no qual eu tenho que calcular o volume de um sólido de forma aproximada
(soma de Riemann) e de forma exata (integral).
Já fiz um trabalho muito semelhante a este algum tempo atrás e por este motivo acho que estou resolvendo de forma errada
já que os valores estão muito diferentes. Vamos ao meu dilema:

A função é: $5x{e}^{-\frac{x}{2}} + \frac{y.(13-y)}{8}$
Sendo que:
$0\leq x \leq8$
$0\leq y \leq12$
$\Delta x = \Lambda y = 1cm$
Utilizando o ponto médio.

Então para a soma de Riemann fiz: f(0,5 ; 0,5) + f(0,5 ; 1,5) + f(0,5 ; 2,5) ... + f(7,5 ; 11,5).
Somando todas essas funções obtive V=582,830221 cm³

Então resolvi a integral:
$\int_{0}^{12} \int_{0}^{8} 5x{e}^{-\frac{x}{2}} + \frac{y.(13-y)}{8} dxdy$
$\int_{0}^{12} - \frac{5x{e}^{-\frac{x}{2}}}{2} - \frac{5{e}^{-\frac{x}{2}}}{4} + \frac{13}{8}xy - \frac{x{y}^{2}}{8}$
$\int_{0}^{12} - 0,009157819 - 0,022894548 + \frac{5}{4} + 13y - {y}^{2}$
$- 0,009157819y - 0,022894548y + \frac{5}{4}y + \frac{13{y}^{2}}{2} - \frac{{y}^{3}}{3}$
=374,6153716 cm³

O outro trabalho que eu resolvi, também pelo ponto médio, deu uma diferença menor que 1.
Como os valore são quase o dobro um do outro creio que algo está errado mas não sei o que.

Por favor alguém me ajuda, é muito importante!!
Muito Obrigada

por **LuizAquino** » Seg Mai 09, 2011 20:56

Confira a sua solução:
$\int 5x{e}^{-\frac{x}{2}} + \frac{y(13-y)}{8} dx = - 10(x + 2) e^{-\frac{x}{2}} - \frac{1}{8}(y - 13)xy + c$ , com c uma constante real.

por **Bruhh** » Ter Mai 10, 2011 15:01

Desculpe mas não consegui lhe compreender.
Você está me falando que eu resolvi a integral em relação a x de forma errada?
Aquela resolução que você me mostrou seria a certa? Ou que a diferença dos valores é devido a "+ contante" ?

Muito Obrigada

por **Bruhh** » Ter Mai 10, 2011 15:02

Desculpe mas não consegui lhe compreender.
Você está me falando que eu resolvi a integral em relação a x de forma errada?
Aquela resolução que você me mostrou seria a certa? Ou que a diferença dos valores é devido a "+ contante" ?

Muito Obrigada

por **LuizAquino** » Ter Mai 10, 2011 17:28

Note que você errou a integral em relação a x. A solução correta dessa integral é a que eu enviei anteriormente.

Além disso, note que eu enviei a solução da integral indefinida. A partir dela você precisa calcular a integral definida de 0 a 8.