determinar a sequencia

por **maykonnunes** » Qua Abr 27, 2011 09:54

Seja $({x}_{n})$ uma sequencia de números reais.

a) Desmontre que $\left|{x}_{n} \right|\rightarrow 0$ se e somente se ${x}_{n}\rightarrow 0$
b) Vale um resultado geral da forma " $\left|{x}_{n} \right|\rightarrow \left|L \right|$ se e somente se ${x}_{n}\rightarrow L$
c) Seja $a\in(-1,0]$ . Mostre que ${a}^{n}\rightarrow 0$

Preciso muito desta ajuda
Obrigado

por **LuizAquino** » Qui Abr 28, 2011 23:07

Seja $({x}_{n})$ uma sequencia de números reais.

a) Desmontre que $\left|{x}_{n} \right|\rightarrow 0$ se e somente se ${x}_{n}\rightarrow 0$
Note que $-|x_n| \leq x_n \leq |x_n|$ e lembre-se do Teorema do Confronto.

Além disso, lembre-se que $\left|\lim_{n\to +\infty} x_n\right| = \lim_{n\to +\infty}|x_n|$ .

b) Vale um resultado geral da forma: $\left|{x}_{n} \right|\rightarrow \left|L \right|$ se e somente se ${x}_{n}\rightarrow L$
Considere o lembrete dado em a)

c) Seja $a\in(-1,0]$ . Mostre que ${a}^{n}\rightarrow 0$ .
Lembre-se que a função f(x)=a^x

com

é decrescente. Além disso, temos que $\lim_{x\to +\infty}a^x = 0$ .

por **MarceloFantini** » Sex Abr 29, 2011 00:05

Será que talvez ele não tenha que demonstrar pela definição?

$a = \lim x_n \equiv \forall \varepsilon >0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N}; \, n> n_0 \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon$ ?

No caso do item c, será que já é dado que a função f(x) = a^x

com

é decrescente? Ele não pode usar o limite que você mencionou pois justamente o que ele quer é mostrar que o limite da sequência é zero. Como não sabemos, eu diria que talvez ele tenha que provar que a_x

é decrescente e depois mostrar que o limite é zero.

por **LuizAquino** » Sex Abr 29, 2011 00:19

Isso tudo depende da ordem adotada no curso.

De modo geral, primeiro estudamos as funções exponenciais e seus limites antes de falar de sequências.

É óbvio que se esse estudo não foi feito antes, então não podemos utilizá-lo na demonstração em questão.

De qualquer maneira, as demonstrações são análogas, portanto uma pode inspirar a outra. Eis o motivo da dica que dei.

por **MarceloFantini** » Sex Abr 29, 2011 00:25

No livro do Elon, Análise Real Vol. 1, não é feito assim. Não faz sentido falar em limite de função quando não se definiu ainda limite de sequência, pois se define limites de funções como limites de sequências de números num intervalo tal que a função aplicada na sequência convirja para o número desejado.

por **maykonnunes** » Sex Abr 29, 2011 00:40

so que tem algo ela vai ser crescente de -1 para 0 não é??

por **MarceloFantini** » Sex Abr 29, 2011 00:42

O que será crescente? a^x

com

?

por **LuizAquino** » Sex Abr 29, 2011 01:01

Prezado Fantini,

Até certo ponto, a ordem dos assuntos é uma questão de estilo de cada autor. Obviamente, o Elon Lages não é o único autor existente.

Há livros que começam com limites de funções para em seguida enxergar o limite de sequências como um caso discreto do limite de funções. Ou seja, toma-se uma função f(x) e enxerga-se a sequência como an = f(n), com n natural. Essa ordem dos conteúdos, por exemplo, é muito comum em livros de Cálculo.

por **MarceloFantini** » Sex Abr 29, 2011 13:14

Com todo respeito Luiz, uma sequência é enxergada como uma função sim, mas o objetivo de um curso de Análise é construir os conhecimentos de Cálculo rigorosamente, e portanto construir o conceito de limite de uma função contínua partindo de casos discretos como sequência. Logo, reitero que não se pode usar que $\lim_{x \to \infty} a^x = 0$ , pois é o que queremos provar.

por **maykonnunes** » Sex Abr 29, 2011 15:11

acho que a ideia é a seguinte como intervalo (-1,0] que se divide em duas
> $-1<{a}^{n}<0 / n=2k+1,k\in N$ será crescente e converge para zero
> $0<{a}^{n}<1 / n=2k,k\in N$ será decrescence e converge para zero

Ainda não poço falar em função apenas en sequência

Abraços

por **LuizAquino** » Sex Abr 29, 2011 17:45

Tudo bem, já que a ideia é não usar funções, então vejamos uma solução.

Para a=0, a prova é trivial.

Suponha que a esteja no intervalo (-1, 0).

Queremos que para todo $\varepsilon > 0$ exista n_0

natural tal que $|a^n - 0| < \varepsilon$ sempre que n > n_0

.

Desenvolvendo a primeira inequação, obtemos que:
$|a^n - 0| < \varepsilon$
$|a^n| < \varepsilon$
$|a|^n < \varepsilon$
$n\ln|a| < \ln\varepsilon$

Como |a| está no intervalo (0, 1), temos que ln|a| < 0. Portanto, multiplicando toda a inequação por 1/ln|a| devemos trocar o seu sentido.

$n > \frac{\ln\varepsilon}{\ln |a|}$

Logo, dado $\varepsilon > 0$ basta tomar qualquer n_0

maior ou igual a $\frac{\ln\varepsilon}{\ln |a|}$ .

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 30, 2011 02:35

Luiz, perceba que você é contraditório em sua mensagem. Primeiro, diz não usar funções, e depois usa logaritmo natural.

Acredito que um jeito de resolver essa questão seja dizer que existe n_0

natural tal que $0 < a^n < \frac{1}{n}$ para n > n_0

. Aplicando teorema do confronto, $\lim 0 = 0$ e $\lim \frac{1}{n} = 0$ , logo $\lim a^n = 0$ .

por **LuizAquino** » Sáb Abr 30, 2011 08:36

Não há problema algum em aplicar ln em ambos os lados da inequação. Note que temos a inequação $|a|^n<\varepsilon$ e queremos isolar a variável n. Para fazer isso vamos precisar usar o conceito de logaritmos.

Quando disse "não usar funções" quis dizer que não usaria o conhecimento sobre as funções exponenciais como eu havia sugerido antes. Eu imaginei que isso ficaria claro considerando as mensagens anteriores, mas vejo que eu deveria ter sido mais específico. Desculpe-me por isso.

Além disso, note que a está no intervalo (-1, 0]. Desse modo, nem sempre é válido que 0 < a^n

como você escreveu. Por mais que você tome n maior do que um certo n_0

, haverá valores para os quais a^n < 0

. Portanto, não se pode aplicar o Teorema do Confronto da maneira como você sugeriu.

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 30, 2011 16:25

Aquino, acredito que ambos não fomos claros. Concordo que minha demonstração fora incompleta e arrumarei a seguir. Entretanto, preciso reforçar que o seu uso de logaritmo não é correto. Quando eu disse não usar funções, eu digo não usar funções elementares tradicionais, como seno, cosseno, logaritmo, exponencial, etc.

Consertando, basta afirmar que existe n_0

natural tal que $0 < |a^n| < \frac{1}{n}$ para n > n_0

. Assim, aplicando confronto, temos que $\lim |a^n| = 0$ , logo $|a_n| \to 0$ . Falta provar que $a^n \to 0$ . Note que $| |a^n| - 0 | = | |a^n| | = |a^n| = |a^n - 0| < \varepsilon$ . Assim, pela definição de limite temos que $a^n \to 0$ .

por **LuizAquino** » Sáb Abr 30, 2011 16:51

Eu volto a afirmar que se temos a inequação $|a|^n<\varepsilon$ e queremos isolar a variável n não há problema em usar os conceitos de logaritmos nesse exercício. Pelo que percebo, não vamos chegar a um consenso quanto a isso, portanto acho o mais prudente cada um respeitar a opinião do outro.

Quanto a sua solução, falta ter o cuidado de tomar a não nulo, haja vista que como a está no intervalo (-1, 0], se tomarmos a=0 não ocorrerá que 0 < |a^n|

. De qualquer modo, isso não chega a ser tão problemático, pois tomando a=0 a prova é trivial. Em seguida, bastava tomar a no intervalo (-1, 0) e continuar a solução como descrito.

Além disso, falta justificar por que é possível afirmar que existe n_0