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UnB

por Abelardo » Sáb Abr 09, 2011 18:48

57. Considerando a e b quaisquer números reais que sastifazem à condição $0\leq a < b$ julgue os itens que se seguem:
1) $\frac{1}{1+{a}^{2}} \leq \frac{a}{1+{b}^{2}}$

2) $\frac{a}{1+a} \leq \frac{b}{1+b}$

3) $\frac{b}{{a}^{2}+3{b}^{2}} > \frac{a}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$

4) $\left|a - b \right| < \left|{a}^{2} - {b}^{2}\right|$

A primeira, segunda e a terceira eu fiz tranquilo, mas a terceira não consegui. Se quiserem, podem apresentar a solução de todas, é bom saber outras formas também para resolver as questões!

Abelardo: Colaborador Voluntário; Mensagens: 159; Registrado em: Qui Mar 03, 2011 01:45; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo $a=\sqrt{8}+ i$ em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja $\alpha$ o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo

. O triângulo é retângulo com catetos

e $\sqrt{8}$ , tal que $tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}$ . Seja $\theta$ o ângulo complementar. Então $tg \theta = \sqrt{8}$ . Como $\alpha + \theta = \frac{\pi}{2}$ , o ângulo que o afixo

formará com a horizontal será $\theta$ , mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi

, então $\frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}$ . Como módulo é um: $|b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}$ .

Logo, o afixo é $b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}$ .

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