preciso de orientaçao para resoluçao(polinomios)

por **Fabricio dalla** » Ter Abr 05, 2011 17:19

(UFES) o numero complexo ${Z}_{1}=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt[2]{3}}{2} e uma das raizes do polinomio [tex] P(Z)={Z}^{4}+2{Z}^{3}+{Z}^{2}-1$
a)Encontre outra raiz complexa não real de P(Z)
b)escreva P(Z)como produto de dois polinomios com coeficiente reais[/tex]

o que devo fazer
na alternativa a) quando ele fala outra raiz complexa não real de P(Z) ele se refere a um numero complexo imaginario puro ou eu devo colocar so o conjugado de z1 como resposta ?

b)com essas duas raizes complexas eu desço o grau do polinomio ate grau 2 ai escrevo que P(Z)=P(Z) baixado 2grausX o produto de (Z-Z1).(Z-Z2) onde Z2 e o conjugado de Z1?

por **Elcioschin** » Ter Abr 05, 2011 19:04

Se - 1/2 + i*V3/2 é uma raiz complexa, outra raiz, obrigatoriamente complexa é -1/2 - i*V3/2

[z - (-1/2 + i*V3/2)]*[z - (-1/2 - i*V3/2)] = [ (z + 1/2) + i*V3/2]*[(z + 1/2) - i*V3/2] = (z + 1/2)² - (i*V3/2)² = (z² + z + 1/4) - (- 3/4) = z² + z + 1

Divida agora o polinômio original (do 4º grau) por x² + x + 1 e encontre outro polinômio do 2º grau .

Igualando este último a zero você encontra as outras duas raízes.