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Função de segundo grau simples

Função de segundo grau simples

Mensagempor Allanx » Sáb Mar 26, 2011 00:02

Opa pessoal beleza? Comecei a ler a série "Fundamentos da Matemática Elementar". Ainda no primeiro volume estou tendo problemas com o exercicio A177 letra J que é o seguinte f(x) = x^2 +(1-\sqrt3) - \sqrt3, enquanto calculava o delta cheguei nisso:
\Delta = (1-\sqrt3)^2 - 4.1.(-\sqrt3) = 1-2\sqrt3+3 +4\sqrt3 = 4+2\sqrt3
isso me pareceu bem estranho, imaginei que o delta não possuiria nenhuma raiz quadrada, a equação toda ficaria assim:
f(x) =\frac{-1+\sqrt3 \pm \sqrt {4+2\sqrt3}}2
Os resultados seriam x = -1 e x = \sqrt3
Acredito ter errado em alguma coisa bem boba, mas não consigo identificá-la. Obrigado pela ajuda.
PS: Primeira vez usando o LaTex então talvez alguma coisa na fórmula não tenha ficado como deveria.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor FilipeCaceres » Sáb Mar 26, 2011 00:36

Para primeira vez esta muito bom =)
Mas sobre a questão, não encontrei nenhum erro. Você so não terminou a solução, pelo jeito ainda nao conhece o tal de radical duplo né?!Mas não se preocupe, vou dar uma palhinha.

Não vou demonstrar, peço que procure por radical duplo.

Seja a e b radicais,tais que
b>0
a\pm \sqrt{b}>0

Desde que c=\sqrt{a^2-b} seja racional,temos:
\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-c}{2}}

OBS.: É importante então observar que a transformação não é possível se \sqrt{a^2-b} não for racional.

Resolvendo a questão temos:
\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{4+\sqrt{12}}

Desta forma,
c=\sqrt{4^2-12}=2

Logo,
\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2}{2}}+\sqrt{\frac{4-4}{2}}
\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1

Portanto,
x_{1,2} =\frac{(-1+\sqrt3) \pm \sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2}=\frac{(-1+\sqrt3) \pm (1+\sqrt{3})}{2}

x_1=\frac{-1+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2}
x_1=\sqrt{3}

x_2=\frac{-1+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}{2}
x_2=-1

Espero ter ajudado.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Mar 26, 2011 01:45

Também nunca usei radical duplo. Onde aprendeu isso?

Para resolver, talvez soma e produto ajudassem sem precisar do radical duplo. Que números quando somados dão \sqrt{3} -1 e multiplicados - \sqrt{3}? Fica um tanto quanto nítido. Não sei ele já ensinou isso, portanto talvez desconsidere. O caso é que eu acho que esse método pelo tal "radical duplo" é usar um canhão para matar uma formiga. Acho específico demais (pessoalmente nunca vi isso em nenhuma prova, vestibular, livro de ensino médio ou matéria da universidade) para ser usado num único problema. Deve existir um outro jeito de visualizar, possivelmente sem ser o meu ou do radical, de forma mais natural e sem uso de tal artifício.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 26, 2011 11:22

Esse é um conteúdo que deve (ou deveria) ser visto ao ensinarmos a resolução de equações do 2º grau no ensino fundamental.

A ideia básica é determinar x e y positivos tais que a+\sqrt{b} = (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2. Desse modo, temos que \sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \sqrt{x}+\sqrt{y} .

Note que determinar esse x e y consiste em resolver o sistema:
\begin{cases}
x+y=a \\
2\sqrt{xy}=\sqrt{b}
\end{cases}

Mas, esse sistema é equivalente a:
\begin{cases}
x+y=a \\
xy=\frac{b}{4}
\end{cases}

Desse modo, queremos determinar dois números cuja a soma seja a e o produto seja b/4. Ou seja, queremos as soluções da equação:
u^2-au+\frac{b}{4}=0

Essa equação só possui soluções reais se \Delta = a^2 - b \geq 0. Nesse caso, as soluções serão: x=\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2} e y=\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}.

Portanto, teremos que:
\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}

Agora, chamando \sqrt{a^2-b} = c, chegamos na relação:

\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + c}{2}}+\sqrt{\frac{a - c}{2}}

Por fim, note que essa estratégia só é interessante se \sqrt{a^2-b}=c for racional. Se isso fosse irracional, teríamos que \sqrt{a^2-b}=\sqrt{d} para algum d. Daí a simplificação não seria interessante, pois ficaríamos com:
\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{d}}{2}}+\sqrt{\frac{a - \sqrt{d}}{2}}

Vale destacar que no caso particular da equação x^2 +(1-\sqrt{3})x - \sqrt{3} = 0, o caminho mais simples é mesmo analisar a soma e o produto das raízes.

Entretanto, imagine que o exercício fosse resolver a equação x^2-3x - \sqrt{5}=0. Duas raízes para essa equação são x^\prime = \frac{5+\sqrt{5}}{2} e x^{\prime\prime} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}. Note que seria difícil ter chegado nessa solução usando a estratégia de analisar a soma e o produto das raízes. Entretanto, usando a estratégia acima podemos chegar nesse resultado.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Mar 26, 2011 15:28

Acho que é muito trabalho por pouco. Não tem grandes conceitos a serem trabalhados, apenas um método de explicitar raízes. É mais conta do que raciocínio, o que eu sou contra, mas enfim.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 26, 2011 15:42

De fato, há de se fazer muitas contas. Entretanto, é comum repostas assim aparecerem nos gabaritos dos livros, vestibulares e concursos.

Por exemplo, muito provavelmente a equação x^2-3x - \sqrt{5}=0 teria como gabarito x^\prime = \frac{5+\sqrt{5}}{2} e x^{\prime\prime} = \frac{1-\sqrt{5}}{2} e não x^\prime = \frac{3+\sqrt{9+4\sqrt{5}}}{2} e x^{\prime\prime} = \frac{3-\sqrt{9+4\sqrt{5}}}{2}.

Por esse motivo, é necessário saber como operar com \sqrt{9+4\sqrt{5}} para transformá-lo em 2+\sqrt{5}.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Mar 26, 2011 16:05

Raramente eu vi equações com esse tipo de coeficientes. Acho que estão mudando o foco (ótimo) das contas para o raciocínio.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 26, 2011 16:13

Confie em mim. Elas aparecem com frequência. :-D
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor Allanx » Dom Mar 27, 2011 00:10

LuizAquino: sua "palhinha" foi o conceito inteiro, bem detalhado MESMO.
Fantini: Realmente, nesse caso ficou bem óbvio, poderia ter resolvido com o que sabia, bobiei.

Agradeço a ambos pela ajuda, da próxima vez ficarei mais atento a propriedades básicas e tenho mais uma fórmula útil, que nunca havia visto, no meu repertório.
Agora sei que posso prosseguir tranquilo com os livros, mas sobrará para vocês que terão que matar muitas dúvidas.
Obrigado.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D